1995-上海理-20A 填-圆锥容器的体积

本题导读

本题考查圆锥形容器的容积，以及扇形展开为圆锥侧面的几何关系。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）把圆心角为 $216^{\circ }$，半径为 $5$ 分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是　　　 立方分米（结果保留两位小数）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由扇形弧长得圆锥底面周长，求底面半径。
2. 由母线长与底面半径求高，再求体积。

✅【答案】

Success

$37.70$（或 $37.68$、$37.69$）

✍【详细解析】

Abstract

扇形弧长 $l=5\times \frac{216\pi }{180}=6\pi$，此为圆锥底面周长，故底面半径 $r=\frac{6\pi }{2\pi }=3$。圆锥母线长即扇形半径 $=5$，故高 $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$。容积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 9\times 4=12\pi \approx 37.70$ 立方分米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥容器的体积

核心方法：扇形弧长 $=5\times \frac{216\pi }{180}=6\pi$ 为圆锥底面周长，底面半径 $r=3$，高 $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$，容积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 9\times 4=12\pi \approx 37.70$

避坑指南：扇形展开算圆锥体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材旋转体体积

结论推广：一般地，扇形展开为圆锥侧面求体积

方法推广：扇形展开算圆锥体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-18A 填-旋转体的体积比
• 1997-上海理-15A 填-圆柱体积与水面下降
• 1999-全国卷文-07 单-圆柱与倒圆锥的体积