1995-上海理-05 单-双曲线方程的充要条件

本题导读

本题考查方程表示双曲线的充要条件，以及 $ab<0$ 与该条件的关系。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） “$ab<0$”是“方程 $a{x}^2+b{y}^2=c$ 表示双曲线”的 ()

A. 必要条件但不是充分条件　　B. 充分条件但不是必要条件 C. 充分必要条件　　　　　　　D. 既不是充分条件又不是必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $a{x}^2+b{y}^2=c$ 表示双曲线需满足的条件。
2. 讨论 $ab<0$ 的充分性与必要性。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$a{x}^2+b{y}^2=c$ 表示双曲线，需 $a,b$ 异号（即 $ab<0$）且 $c\ne 0$。所以 $ab<0$ 是必要条件；但当 $ab<0$ 且 $c=0$ 时，方程退化为两条过原点的直线（如 $x^2-y^2=0$），不是双曲线，故不充分。因此是必要不充分条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程的充要条件

核心方法：$a{x}^2+b{y}^2=c$ 表示双曲线需 $ab<0$ 且 $c\ne 0$；而 $ab<0$ 时若 $c=0$ 则退化为两直线，故为必要不充分条件，选 A

避坑指南：必要条件 + 退化情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥曲线方程

结论推广：一般地，注意退化情形区分充要条件

方法推广：必要条件 + 退化情形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-06 单-充要条件的判定
• 1996-上海文-06 单-奇函数的充要条件
• 1997-上海文-04 单-双曲线的方程