1995-上海文-03 单-三角方程解的个数

本题导读

本题考查三角方程在给定区间上解的个数，以及正切函数的周期性。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 方程 $\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 在区间 $[0,2\pi )$ 上解的个数是 ()

A.$5$　　B.$4$　　C.$3$　　D.$2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\tan$ 方程的通解。
2. 在 $[0,2\pi )$ 内数解的个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$，故 $2x+\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{6}$，即 $2x=k\pi -\frac{\pi }{6}$，$x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}$。由 $0\le x<2\pi$，得 $0\le \frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}<2\pi$，即 $k$ 取 $0,1,2,3$ 共 $4$ 个解。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程解的个数

核心方法：$\tan (2x+\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$2x+\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{6}$，即 $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}$，在 $[0,2\pi )$ 上 $k=0,1,2,3$ 共 4 个解，选 B

避坑指南：由正切周期计数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角方程

结论推广：一般地，由正切周期数解的个数

方法推广：由正切周期计数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-08 填-三角方程的解的个数
• 1996-上海文-11 填-三角方程的解
• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值