1994-全国卷理-23 解-正三棱柱中的线面平行与二面角

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定定理、空间两异面直线垂直的性质。核心在于空间几何综合推导法、线面垂直中介法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 如图，已知 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 是正三棱柱，$D$ 是 $AC$ 中点.

(1) 证明：$A{B}_1\parallel$ 平面 $DB{C}_1$；

(2) 假设 $A{B}_1\perp B{C}_1$，求以 $B{C}_1$ 为棱，$DB{C}_1$ 与 $CB{C}_1$ 为面的二面角 $\alpha$ 的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

第(1)问证明线面平行：连接 $B_{1}C$ 交 $B{C}_1$ 于点 $O$。利用正三棱柱侧面为矩形的性质得到 $O$ 为 $B_{1}C$ 的中点。连接 $DO$，在 $△A{B}_{1}C$ 中利用三角形中位线定理证明 $DO\parallel A{B}_1$，进而触发线面平行判定定理。 第(2)问求解二面角：

• 建系并定形：设底面边长为 $a$、侧棱长为 $h$，以 $C$ 为原点建系；由 $A{B}_1\perp B{C}_1$ 的数量积为零，解出 $h$ 与 $a$ 的关系 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
• 求法向量定角：分别求平面 $DB{C}_1$ 与平面 $CB{C}_1$ 的法向量，用夹角公式算出余弦值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合图形判断该二面角为锐角，得 $45^{\circ }$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 连接 $B_{1}C$ 交 $B{C}_1$ 于点 $O$．因为 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 是正三棱柱，所以侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 是矩形，两条对角线互相平分，故 $O$ 既是 $B_{1}C$ 的中点，也是 $B{C}_1$ 的中点． 在 $△A{B}_{1}C$ 中，$D$ 是 $AC$ 的中点，$O$ 是 $B_{1}C$ 的中点，所以 $DO$ 是 $△A{B}_{1}C$ 的中位线，故 $DO\parallel A{B}_1$ 又 $A{B}_1\not\subset$ 平面 $DB{C}_1$，$DO\subset$ 平面 $DB{C}_1$，由线面平行的判定定理得 $A{B}_1\parallel \text{平面 }DB{C}_1$

(2) 解： 设正三棱柱底面边长为 $a$，侧棱长为 $h$．以 $C$ 为原点，$CA$ 所在直线为 $x$ 轴，在底面内过 $C$ 作 $CA$ 的垂线为 $y$ 轴，$C{C}_1$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $C(0,0,0),A(a,0,0),B\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right),D\left(\frac{a}{2},0,0\right),B_1\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right),C_1(0,0,h)$ 于是 $\overrightarrow{A{B}_1}=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right),\overrightarrow{B{C}_1}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right)$ 由 $A{B}_1\perp B{C}_1$ 得 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=\frac{a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+h^2=0⟹h^2=\frac{a^2}{2}⟹h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

设平面 $DB{C}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，由 $\overrightarrow{DB}=\left(0,\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right),\overrightarrow{D{C}_1}=\left(-\frac{a}{2},0,h\right)$ 得 $\frac{\sqrt{3}a}{2}{y}_1=0$ 且 $-\frac{a}{2}{x}_1+h{z}_1=0$，即 $y_1=0$，$x_1=\frac{2h}{a}{z}_1$．取 $z_1=1$，结合 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 得 $x_1=\sqrt{2}$，故 $\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{2},0,1)$

设平面 $CB{C}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，由 $\overrightarrow{CB}=\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right),\overrightarrow{C{C}_1}=(0,0,h)$ 得 $\frac{a}{2}{x}_2+\frac{\sqrt{3}a}{2}{y}_2=0$ 且 $h{z}_2=0$，即 $z_2=0$，$x_2=-\sqrt{3}{y}_2$．取 $y_2=-1$，得 $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3},-1,0)$

所以 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{3}+0\times (-1)+1\times 0}{\sqrt{3}\times \sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 由图形可知二面角 $\alpha$ 为锐角，故 $\alpha =45^{\circ }$ 即二面角 $\alpha$ 的度数为 $45^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的性质与判定定理；线面垂直作为异面直线垂直与面面垂直相互转化的纽带；二面角平面角的构造与解直角三角形。 核心方法：正向演绎几何法。关键点在于利用“底面正三角形三线合一”和“棱柱侧棱垂直于底面”两层条件，交织构造出空间直角网络。 避坑指南：

• 证明线面平行时，必须严谨指明 $A{B}_1\not\subset$ 平面 $DB{C}_1$ 的排他性条件。
• 寻找二面角平面角时，容易忽略验证 $△DCE$ 的垂直位置。必须通过 $BD\perp$ 侧面，严格推出 $BD\perp CE$，从而判定 $\angle DCE=90^{\circ }$ 才能使用正切公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查空间多维线面关系的定量与定性分析，源自教材立体几何中关于正棱柱对角截面垂直关系的典型推导题。 结论推广：在底面边长为 $a$ 的正三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 中，若异面直线 $A{B}_1\perp B{C}_1$，则侧棱长 $h$ 与底面边长 $a$ 恒满足 $h=a$。此时，侧面均为正方形，以此为基础构造的所有特征核心空间角（线面角、二面角）均为定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离
• 1997-全国卷文-04 单-三棱锥中的二面角