1994-全国卷理-17 填-抛物线的准线与相切圆

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与平移变换，以及抛物线的顶点、准线方程。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 抛物线 $y^2=8-4x$ 的准线方程是 $\underline{}$，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

抛物线方程标准化：将已知方程 $y^2=8-4x$ 提取系数变形为 $y^2=-4(x-2)$。通过对照标准形式 $y^2=-2px$ 的平移，确定其开口方向、顶点坐标以及焦准距 $p$。 求出准线与顶点：依据标准抛物线的几何结构，计算出平移后的准线方程和顶点坐标。 构造圆的方程：由于圆心即为抛物线的顶点，圆与准线相切，则圆的半径 $r$ 等于圆心（顶点）到准线的距离。最后写出圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$。

✅【答案】

Success

$x=3$；$(x-2{)}^2+y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

求抛物线的顶点和准线方程 将抛物线方程 $y^2=8-4x$ 进行变形，得： $y^2=-4(x-2)$

该方程可以看作是由标准抛物线 $y^2=-4x$ 沿 $x$ 轴向右平移了 $2$ 个单位得到的。

• 对于标准抛物线 $y^2=-4x$：
  • 其开口向左， $2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$；
  • 顶点坐标为 $(0,0)$；
  • 准线方程为 $x=\frac{p}{2}=1$。
• 经过向右平移 $2$ 个单位后：
  • 变换后的顶点坐标为 $(0+2,0)=(2,0)$；
  • 变换后的准线方程为 $x=1+2=3$。

求圆的方程 根据题意：

1. 圆心在抛物线的顶点，故圆心坐标为 $(2,0)$。
2. 圆与准线 $x=3$ 相切，则圆的半径 $r$ 等于圆心 $(2,0)$ 到直线 $x=3$ 的距离： $r=|3-2|=1$ 从而半径平方 $r^2=1$。

综上所述，所求圆的方程为： $(x-2{)}^2+y^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

• 顶点在 $(a,b)$ 的抛物线标准方程形式，如 $(y-b{)}^2=-2p(x-a)$。
• 圆心为 $(x_0,y_0)$、半径为 $r$ 的圆的标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$。 核心方法：通过换元思想或平移变换法则 “左加右减”，将非标准方程还原为基本母体方程处理。 避坑指南：
• 开口方向看错：容易把 $y^2=-4(x-2)$ 误认为开口向右的抛物线，导致准线符号算反。
• 平移方向弄反：在处理 $x-2$ 时，误认为是向左平移，从而得到顶点 $(-2,0)$。务必牢记减去几就是向正方向平移几。
• 几何距离公式应用：圆心到垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0$ 的距离直接用横坐标作减法绝对值即可，无须盲目套用复杂的点到直线距离公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将圆锥曲线（抛物线）与初等二次曲线（圆）的位置关系相结合，属于典型的解析几何交叉小题，源自教材中对抛物线定义推广及圆通式应用的课后拓展习题。 结论推广：对于任何形如 $y^2=-2p(x-x_0)$ 的抛物线，其顶点为 $(x_0,0)$，准线为 $x=x_0+\frac{p}{2}$。若一圆的圆心位于该抛物线顶点且与准线相切，则其半径恒为 $r=\left|\left(x_0+\frac{p}{2}\right)-x_0\right|=\frac{p}{2}$。故该圆的方程恒具有以下通用规律： $(x-x_0{)}^2+y^2={\left(\frac{p}{2}\right)}^2$ 本题中 $x_0=2,p=2⟹\frac{p}{2}=1$，直接带入模型即可得到 $(x-2{)}^2+y^2=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-19 填-抛物线的通径长
• 1996-全国卷文-16 填-抛物线焦点与点的距离
• 1998-上海文-20 解-抛物线的定义与方程