1994-全国卷理-13 单-球的截面与球面面积

本题导读

本题考查球的性质与截面圆，以及正三角形的外接圆半径。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知过球面上 $A、B、C$ 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 $AB=BC=CA=2$，则球面面积是 ()

A. $\frac{16}{9}\pi$　　　　　　B. $\frac{8}{3}\pi$　　　　　　C. $4\pi$　　　　　　　D. $\frac{64}{9}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

求截面小圆半径：截面三角形 $△ABC$ 为正三角形且边长为 $2$，其外接圆即为球的截面小圆。由正三角形边长性质可求得截面小圆的半径 $r$。 利用空间直角三角形性质：设球半径为 $R$。球心到截面的距离 $d=\frac{1}{2}R$。球心、截面圆心和点 $A$ 构成直角三角形，三边满足 $d^2+r^2=R^2$。 计算球面面积：由上述关系式解出 $R^2$，代入球面面积公式 $S=4\pi R^2$ 得到结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

计算截面圆的半径 $r$ 由于 $AB=BC=CA=2$，所以截面 $△ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形。 设该正三角形的外接圆（即截面小圆）半径为 $r$。 根据正三角形的几何性质，由正弦定理可得： $2r=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}⟹r=\frac{2}{\sqrt{3}}$ 从而得到 $r^2=\frac{4}{3}$。

利用勾股定理求球半径 $R$ 设球的半径为 $R$，球心到截面的距离为 $d$。 已知 $d=\frac{1}{2}R$。 因为球心 $O$、截面圆圆心 $O^{\prime }$ 以及球面上一点 $A$ 构成以 $O^{\prime }$ 为直角顶点的直角三角形 $△O{O}^{\prime }A$， 所以由勾股定理得： $d^2+r^2=R^2$ 将 $d=\frac{1}{2}R$ 和 $r^2=\frac{4}{3}$ 代入上式中： ${\left(\frac{1}{2}R\right)}^2+\frac{4}{3}=R^2$ $\frac{1}{4}{R}^2+\frac{4}{3}=R^2$ $\frac{3}{4}{R}^2=\frac{4}{3}⟹R^2=\frac{16}{9}$

计算球面面积 $S$ 将 $R^2=\frac{16}{9}$ 代入球面面积公式： $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{16}{9}=\frac{64}{9}\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球心到截面圆心的垂线垂直于截面；球半径 $R$、截面圆半径 $r$、球心到截面的距离 $d$ 满足恒等式 $R^2=r^2+d^2$。 核心方法：构造包含球半径、截面圆半径及球心距的特征直角三角形（通常称为“球的轴截面直角三角形”）。 避坑指南：

• 容易混淆正三角形的外接圆半径与内切圆半径，边长为 $a$ 的正三角形外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，切勿记错。
• 求解过程中无须硬性算出 $R$ 的具体值，直接将 $R^2$ 作为一个整体代入表面积公式 $4\pi R^2$，可以简化开方运算，避免出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查空间多面体与球的组合体度量问题，源于教材立体几何中“球的性质”一节的基本定理应用题。 结论推广：若半径为 $R$ 的球被一个平面所截，截面正 $n$ 边形的边长为 $a$，球心到截面的距离为 $d$，则有普适的数量关系： $R^2=d^2+{\left(\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}\right)}^2$ 通过此公式可将任何正多边形截面的空间度量转换为球的半径求值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积
• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球
• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积