1994-全国卷文-20 填-平方和最小的最佳近似值

本题导读

本题考查函数最值的实际应用，以及平方和取最小值的求解。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 $n$ 次测量分别得到 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，共 $n$ 个数据，我们规定所测量物理量的”最佳近似值”$a$ 是这样一个量：与其他近似值比较，$a$ 与各数据的差的平方和最小.依此规定，从 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 推出的 $a=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设平方和 $f(a)=\sum (a-a_i{)}^2$。
2. 求导令其为 0，得 $a$ 的表达式。

✅【答案】

Success

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(a)={\sum }_{i=1}^n(a-a_i{)}^2$，则 $f^{\prime }(a)=2{\sum }_{i=1}^n(a-a_i)=2\left(na-{\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)$。令 $f^{\prime }(a)=0$，得 $na={\sum }_{i=1}^n{a}_i$，即 $a=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$（即各数据的算术平均数）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平方和最小的最佳近似值

核心方法：设 $f(a)={\sum }_{i=1}^n(a-a_i{)}^2$，令 $f^{\prime }(a)=2\sum (a-a_i)=0$，得 $a=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$（即算术平均）

避坑指南：平方和求导取最小值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的最值

结论推广：一般地，平方和求导取最小值

方法推广：平方和求导取最小值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1995-全国卷文-25 解-市场平衡价格的实际应用（函数建模）
• 1998-上海理-21 解-三次函数的应用