1994-全国卷文-18 填-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系求值，以及由条件求 $\cot \theta$。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 已知 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，$\theta \in (0,\pi )$，则 $\cot \theta$ 的值是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方求 $\sin \theta \cos \theta$ 或 $\sin 2\theta$。
2. 判断 $\theta$ 所在象限，求 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 再求 $\cot \theta$。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$ 平方得 $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{25}$，即 $\sin \theta \cos \theta =-\frac{12}{25}$。又 $\theta \in (0,\pi )$ 时 $\sin \theta >0$，故 $\cos \theta <0$，$\theta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。由 $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，且 $\sin \theta -\cos \theta >0$，得 $\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}$。联立 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，解得 $\sin \theta =\frac{4}{5}$、$\cos \theta =-\frac{3}{5}$，故 $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=-\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数求值

核心方法：$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$ 平方得 $1+\sin 2\theta =\frac{1}{25}$，$\sin 2\theta =-\frac{24}{25}$；又 $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-\sin 2\theta =\frac{49}{25}$，$\theta \in (0,\pi )$ 且 $\sin \theta >0,\cos \theta <0$，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}$，得 $\sin \theta =\frac{4}{5},\cos \theta =-\frac{3}{5}$，$\cot \theta =-\frac{3}{4}$

避坑指南：平方关系求同角三角函数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材同角三角函数

结论推广：一般地，平方关系联立求值

方法推广：平方关系求同角三角函数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值