1994-全国卷文-09 单-复数模的几何意义

本题导读

本题考查复数模的几何意义，以及两距离和为定值的轨迹。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 如果复数 $z$ 满足 $|z+i|+|z-i|=2$，那么 $|z+i+1|$ 的最小值是 ()

A.$1$　　B.$\sqrt{2}$　　C.$2$　　D.$\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|z+i|+|z-i|=2$ 表示到 $(0,1),(0,-1)$ 距离和为 2。
2. 两定点距离为 2，故 $z$ 在线段上，求 $|z+i+1|$ 最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$|z+i|+|z-i|=2$ 表示 $z$ 对应的点到 $(0,1)$、$(0,-1)$ 的距离之和为 $2$。因这两定点间距离恰为 $2$，故 $z$ 的轨迹是连接 $(0,1)$ 与 $(0,-1)$ 的线段，即 $z=yi$（$-1\le y\le 1$）。于是 $|z+i+1|=|1+(y+1)i|=\sqrt{1+(y+1{)}^2}$，当 $y=-1$ 时取最小值 $1$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的几何意义

核心方法：$|z+i|+|z-i|=2$ 表示以 $(0,1),(0,-1)$ 为端点的线段（焦距 2，长轴 2），$z$ 在 $y$ 轴上 $-1\le y\le 1$。$|z+i+1|$ 最小值即点 $(-1,-1)$ 到该线段距离 $=1$，选 A

避坑指南：椭圆的退化（线段）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的模

结论推广：一般地，两距离和定值退化为线段

方法推广：椭圆的退化（线段）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算
• 1997-上海理-09 填-复数的乘方运算