1994-上海理-15 单-集合包含关系的命题判定

本题导读

本题考查集合的包含关系，以及并集、交集的性质。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） 设 $I$ 是全集，集合 $P$，$Q$ 满足 $P\subset Q$，则下面的结论中错误的是 ()

A.$P\cup Q=Q$　　B.${\complement }_{I}P\cup Q=I$ C.$P\cap {\complement }_{I}Q=\varnothing$　　D.${\complement }_{I}P\cap {\complement }_{I}Q={\complement }_{I}P$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $P\subset Q$ 推出并、交关系。
2. 逐一验证哪项错误。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在 $P\subset Q$ 条件下逐一判定：

• A：$P\cup Q=Q$ 恒成立（因 $P\subset Q$）；
• B：${\complement }_{I}P\cup Q=I$ 恒成立——任取 $x\in I$，若 $x\in Q$ 则 $x\in {\complement }_{I}P\cup Q$；若 $x\notin Q$，由 $P\subset Q$ 知 $x\notin P$，故 $x\in {\complement }_{I}P$，仍属 ${\complement }_{I}P\cup Q$；
• C：$P\cap {\complement }_{I}Q=\varnothing$ 恒成立（因 $P$ 中元素全在 $Q$ 内）；
• D：${\complement }_{I}P\cap {\complement }_{I}Q={\complement }_I(P\cup Q)={\complement }_{I}Q$；而 $P\subset Q⟹{\complement }_{I}Q⫋{\complement }_{I}P$，故 ${\complement }_{I}Q\ne {\complement }_{I}P$，即 D 项等式不成立，为假命题。

综上，A、B、C 均为真，唯 D 为假，故结论中错误的是 D。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合包含关系的命题判定

核心方法：由 $P\subset Q$ 推得 A、B、C 均为真；D 项 ${\complement }_{I}P\cap {\complement }_{I}Q={\complement }_I(P\cup Q)={\complement }_{I}Q\ne {\complement }_{I}P$，为唯一假命题，故结论错误的是 D。

避坑指南：由包含关系逐一判定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材集合的包含关系

结论推广：一般地，由包含关系逐一判定

方法推广：由包含关系逐一判定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-02 单-集合的交并关系判定
• 1994-全国卷文-01 单-集合的补集与并集
• 1996-上海理-01 单-集合的交集