1994-上海文-25 解-分段面积函数与单调性

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的构造。核心在于由等差数列基本量求出通项，再构造等比数列并求和。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)）设 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列， $a_{3} + a_{5} = 2$ ， $S_{20} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20} = 150$ ，又 $b_{n} = 2^{a_{n}} - 2^{a_{n + 1}}$ （ $n \in N$ ）.

(1)求 $a_{1}$ ， $d$ 的值；

(2)求证 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求 $b_{n}$ ；

(3)设 $k$ 为某个自然数，且满足 $lim_{n \to \infty} (b_{k} b_{k + 1} + b_{k + 1} b_{k + 2} + \dots + b_{n} b_{n + 1}) = \frac{1}{96}$ ，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $a_{3} + a_{5}$ 、 $S_{20}$ 列方程求 $a_{1}$ 、 $d$ 。

证 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ 为常数。

求等比和再解 $k$ 。

✅【答案】

Success

(1) $a_{1} = - 2$ ， $d = 1$

(2) $b_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$

(3) $k = 4$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由题设 $⎩ ⎨ ⎧ a_{3} + a_{5} = 2 S_{20} = \frac{( a _{1} + a _{20} ) \cdot 20}{2} = 150$ ，又 $a_{3} = a_{1} + 2 d$ 、 $a_{5} = a_{1} + 4 d$ 、 $a_{20} = a_{1} + 19 d$ ，故 ${2 a_{1} + 6 d = 2 10 (2 a_{1} + 19 d) = 150$ ，解得 $a_{1} = - 2$ ， $d = 1$ 。 (2)由 $b_{n} = 2^{a_{n}} - 2^{a_{n + 1}}$ ，得 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{2 ^{a_{n + 1}} - 2 ^{a_{n + 2}}}{2 ^{a_{n}} - 2 ^{a_{n + 1}}}$ 。因 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n + 1} = a_{n} + d$ 、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 d$ ，故 $b_{n} = 2^{a_{n}} (1 - 2^{d}) = 2^{a_{n}} (1 - 2)$ ，且 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{2 ^{a_{n + 1}}}{2 ^{a_{n}}} = 2^{d} = \frac{1}{2}$ 。又 $b_{1} = 2^{- 2} - 2^{- 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$ 。故 ${b_{n}}$ 是首项 $- \frac{1}{4}$ 、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_{n} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2})^{n - 1}$ 。 (3)由第(2)小题得 $b_{k} b_{k + 1} = \frac{1}{16} (\frac{1}{2})^{2 k - 2} \cdot \frac{1}{2}$ ，即 $\frac{b _{k + 1} b _{k + 2}}{b _{k} b _{k + 1}} = \frac{1}{4}$ 。故 $b_{k} b_{k + 1}, b_{k + 1} b_{k + 2}, \dots$ 是首项 $b_{k} b_{k + 1}$ 、公比 $\frac{1}{4}$ 的等比数列。 $lim_{n \to \infty} (b_{k} b_{k + 1} + b_{k + 1} b_{k + 2} + \dots + b_{n} b_{n + 1}) = \frac{b _{k} b _{k + 1}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} b_{k} b_{k + 1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{16} (\frac{1}{2})^{2 k - 2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{96}$ ，解得 $(\frac{1}{2})^{2 k} = (\frac{1}{2})^{8}$ ，故 $k = 4$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段面积函数与单调性

核心方法：(1) 当 $0 < t < \frac{1}{2}$ 时 $S (t) = 2 (1 - t + t^{2} - t^{3})$ ，当 $t \geq \frac{1}{2}$ 时 $S (t) = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t})$ ；(2) $0 < t < \frac{1}{2}$ 内 $S (t_{1}) - S (t_{2}) > 0$ 递减， $\frac{1}{2} \leq t_{1} < t_{2} \leq 1$ 递减、 $1 \leq t_{1} < t_{2}$ 递增，故 $(0, 1]$ 减、 $[1, + \infty)$ 增

避坑指南：分段讨论 + 作差判单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分段函数

结论推广：一般地，分段讨论、作差判单调

方法推广：分段讨论 + 作差判单调

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项

1994-全国卷文-25 解-等差数列的证明

1995-上海理-25 解-二次函数与圆的递推关系

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