本题导读
本题考查空间两平面交线的确定方法、线面平行的判定定理与性质定理。核心在于线面平行转化法、投影射影法（解直角三角形）的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1993年旧高考(理)） 如图， 是直三棱柱，过点 、 、 的平面和平面 的交线记作 .
(1) 判定直线 和 的位置关系，并加以证明；
(2) 若 ，求顶点 到直线 的距离.
🔍【思路分析】
破题导航
对于第 (1) 问：
- 观察发现 位于上底面 内，而上底面与下底面 相互平行。
- 由线面平行的判定，可得直线 平面 。
- 包含 的过点 的平面与平面 相交于 ，根据线面平行的性质定理，该交线 必须与 平行。 对于第 (2) 问：
- 找线：因为 ，且由直棱柱性质知 ，故 。由于 是两平面的公共点，说明交线 是过点 且平行于 的直线。
- 作垂线（找距离）：在底面 中，过 作 于 。因为 ，所以 。
- 空间平移（三垂线定理）：因为 底面 ，且 ，连接 。利用直棱柱结构，可得 （或通过过 作 的垂线利用三垂线逆定理定理）。本题最直观的做法是：过 作 于 ，连接 ，由于 底面，由三垂线定理得 ，则 的长度即为所求。
✅【答案】
Success
(1)
(2)
✍【详细解析】
Abstract
(1) 直线 和 的位置关系是： 。
证明如下： 因为在直三棱柱 中，上底面平面 与下底面平面 相互平行。 且直线 包含于平面 内： 根据面面平行的性质，一条直线在一个平面内，则它必平行于另一个平面：
又因为已知过点 的平面（即平面 ）与平面 交于直线 ： 且直线 在平面 内：
根据线面平行的性质定理（若一条直线平行于一个平面，过该直线的平面与此平面相交，则该直线平行于交线），可得：
(2) 求顶点 到直线 的距离。
解： 在直三棱柱中，上下底面全等且对应边平行，故： 由第 (1) 问已证 ，根据平行公理的传递性，可得：
由于点 是两平面的公共点，说明交线 是位于底面平面 内、且过点 平行于 的一条直线。
在底面平面 内，过点 作 于点 。 因为 是直三棱柱，所以侧棱 平面 。 由于 平面 ，故：
在平面 中，因为 且 ，并且 ， 所以直线 平面 。 又因为 平面 ，根据线面垂直的定义，必然有： 因此，线段 的长度 即为顶点 到直线 的距离。
下面我们在直角三角形中定量计算 的长：
求 的长： 因为 ，且已知 ，根据平行线的内错角（或同旁内角）性质， 的长度等于点 到直线 的距离（即 中 边上的高 ）。 在底面 中， ， 。 根据勾股定理，斜边 长度为： 利用等面积法求斜边上的高：
求 的长： 因为 平面 ，且 平面 ，所以 。 即 是一个以 为斜边的直角三角形。 已知 ， ，利用勾股定理求斜边：
所以，顶点 到直线 的距离为 （或写成 2.6）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面平行的性质定理（面面平行的延伸），空间垂直关系的转化（“线线垂直 线面垂直”），三垂线定理在求点线距离中的应用。 核心方法：三垂线构造法。在立体几何中求点到直线的距离，绝不能直接盲目连线，必须严格经历“作投影、连垂线、证垂直”的严谨三步走。 避坑指南：
- 证明第一问时，必须交代清楚 位于交平面内，满足线面平行性质定理的全部前置条件，缺少逻辑环扣会被按步骤扣分。
- 在第 (2) 问中，要清晰认清 之间的平面几何投影关系。将空间中 到 的垂线段平移投影到底面，转化为直角三角形 的面积高。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于立体几何板块的高考传统经典大题。主要考查空间想象能力与逻辑证明。取材于高中立体几何教材中“空间直线与平面的位置关系”及“空间向量与立体几何（现代大纲对应）”的综合应用大题。 结论推广：在侧棱垂直于底面的直柱体结构中，求上底面某顶点 到下底面平行于底边 的交线 的距离 ，其通用空间解析推广模型为： 其中 为直柱体的高（侧棱长）， 为该顶点在底面的射影点 到直线 的平面二维距离。利用此平方和根式模型，可快速检验各种立体几何大题中距离计算的准确性。
🔗【关联脉络】
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