本题导读
本题考查圆的标准方程与一般方程，以及两圆外切的充要条件。
📌【题干】
Question
（1993年旧高考(理)） 一动圆与两圆： 和 都外切，则动圆圆心的轨迹为 ()
A. 抛物线 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 椭圆
🔍【思路分析】
破题导航
标准化已知定圆：将第二个圆的一般方程进行配方，化为标准方程，明确两个定圆的圆心坐标和半径大小。 运用外切的几何特征：设动圆圆心为 ，半径为 。根据两圆外切时“圆心距等于两半径之和”的充要条件，分别列出点 到两定圆圆心的距离代数式。 消去变量找出恒等式：通过两式相减消去动圆半径 ，得到点 到两个定圆圆心的距离之差为一个固定的常数。 利用定义对号入座：根据到两定点距离之差的绝对值为常数且小于两定点间距离的几何定义，直接锁定双曲线模型。再根据差的正负符号精确到具体的一支。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解：
分析并化简两个已知定圆：
- 设第一个圆为圆 ，方程为 。 由此可知其圆心为原点 ，半径为 。
- 设第二个圆为圆 ，一般方程为 。 对 项进行配方： 。 由此可知其圆心为 ，半径为 。
建立动圆的几何关系： 设动圆的圆心为 ，其动态半径为 。 根据两圆外切的性质，动圆 与圆 、圆 均外切，则圆心距满足：
- |PO_1| = R + r_1 = R + 1 \tag{1}
- |PO_2| = R + r_2 = R + 2 \tag{2}
消参推导轨迹特征： 将 (2) 式减去 (1) 式以消去动圆半径 ： 这说明动点 到两个定点 和 的距离之差是一个恒定的常数。
结合双曲线定义判定形态： 计算两个定圆圆心之间的实际距离： 因为距离之差 严格小于两定点间的距离 （即满足 ），根据双曲线的第一定义： 空间中到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数 的点的轨迹是双曲线。 而此处没有加绝对值符号，且明确指定 。 这意味着动点 离焦点 的距离比离 更近，因此动点 的轨迹只能是靠近焦点 的那一侧，即为双曲线的靠近原点的一支。
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：圆的一般方程向标准方程的配方转换，两圆外切的代数表示，双曲线的第一定义（）。
- 核心方法：定义法。求圆锥曲线的轨迹时，优先观察代数式是否符合椭圆（距离之和为常数）或双曲线（距离之差为常数）的形态定义。
- 避坑指南：
- 容易在做减法消参时发生方向性错误。务必看清 属于不加绝对值的单侧约束，它只能代表双曲线的“一支”而不是“整条双曲线”。
- 注意检查临界条件 是否成立。若算得的常数大于或等于两点间距离，轨迹将变为射线或不存在。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于圆锥曲线定义板块的经典高频轨迹题。直接取材于高二解析几何教材中“双曲线的定义与标准方程”一节的课后典型思考题。
- 结论推广：一般地，若动圆与两已知定圆 和 ：
- 若都外切，则 ，轨迹为双曲线的一支（当 时）；
- 若都内切，轨迹同样为双曲线的一支；
- 若与一个内切而与另一个外切，则 ，其轨迹在满足条件时将呈现为椭圆。
🔗【关联脉络】
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