本题导读
本题考查直角三角形的几何性质，以及诱导公式（互余角度转换）。
📌【题干】
Question
（1993年旧高考(理)） 在直角三角形中两锐角为 和 ，则 ()
A. 有最大值 和最小值 0 B. 有最大值 ，但无最小值 C. 既无最大值，也无最小值 D. 有最大值 1，但无最小值
🔍【思路分析】
破题导航
利用互余转化一元：直角三角形两锐角满足 。代入诱导公式可将目标式转化为 。 倍角公式整合：利用正弦二倍角公式将结构缩合为 。 结合定义域定最值：因为 为直角三角形的锐角，其法定取值范围为开区间 。求出 的范围，通过观察正弦曲线在相应开区间内的端点闭合情况判定最值是否存在。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
解： 在直角三角形中，因为 和 是两个锐角，所以满足： 且自变量 的取值范围为严格的开区间： A \in (0^\circ, 90^\circ) \tag{1}
利用三角函数的诱导公式 ，将目标代数式变形为关于 的一元函数：
分子分母同时乘以 2，逆用正弦二倍角公式 进行缩合：
接下来根据 (1) 式中 的开区间范围，推导双倍角 的范围： 因为 ，各项同时乘以 2 得：
分析正弦函数 在开区间 上的取值分布特点：
- 关于最大值：当 （即 时，满足 ）， 取得绝对最大值 1。此时 。由于该点在区间内部，最大值存在。
- 关于最小值：当 无限逼近左端点 或右端点 时， 的值无限趋近于 0。然而，由于区间 是两端开放的开区间， 永远无法真正等于 或 （对应的三角形将退化不存在）。因此，该函数的值域为 ，只能无限接近 0 却无法取到 0，故最小值不存在。
综上所述， 有最大值 ，但无最小值。
故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：直角三角形锐角互余约束，正弦二倍角公式的逆向应用，开区间端点对函数最值存在性的判定。
- 核心方法：一元函数化归法。
- 避坑指南：
- 极易盲目选择 A。很多考生在算得 并在端点处得到 0 时，因思维定势习惯性地认为 0 就是最小值。务必注意三角形的锐角不能等于 0° 或 90°，开区间端点不可达导致边界值只能作为下确界，无法构成实际的“最小值”。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于三角函数与初等几何交汇的经典最值辨析题。直接改编自高中数学中关于“三角函数在限定区间内最值与值域”的基础训练题。
- 结论推广：若将条件推广到任意三角形中，若 满足 ，则当 时， 恒取得最大值。对于直角三角形，由于 ，其在等腰直角三角形（）的状态下积最大。
🔗【关联脉络】
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