1993-旧高考理-05 单-直线的倾斜角

本题导读

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系。核心在于由直线方程的一般式求出斜率，再由斜率的正负结合反三角函数确定倾斜角。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 直线 $bx+ay=ab$（$a<0$，$b<0$）的倾斜角是 ()

A. $\arctan \left(-\frac{b}{a}\right)$　　　　　B. $\arctan \left(-\frac{a}{b}\right)$　　　　　C. $\pi -\arctan \frac{b}{a}$　　　　　　D. $\pi -\arctan \frac{a}{b}$

🔍【思路分析】

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化为斜截式：由 $bx+ay=ab$ 解出 $y$，得斜率 $k=-\frac{b}{a}$。 判断符号：由 $a<0$、$b<0$ 得 $k<0$，故倾斜角 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。 反三角函数定值：$\tan \alpha =k$ 且 $\arctan \frac{b}{a}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，得 $\alpha =\pi -\arctan \frac{b}{a}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $bx+ay=ab$ 两边同除以 $b$ 得 $x+\frac{a}{b}y=a$，移项得 $y=-\frac{b}{a}x+b$，故斜率 $k=-\frac{b}{a}$。 由于 $a<0$、$b<0$，所以 $\frac{b}{a}>0$，从而 $k=-\frac{b}{a}<0$。 设直线的倾斜角为 $\alpha$（$0⩽\alpha <\pi$），则 $\tan \alpha =k<0$，故 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$。 又 $\arctan \frac{b}{a}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\alpha =\pi -\arctan \frac{b}{a}$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的取值主值范围 核心方法：由一般式求斜率，利用倾斜角与斜率的对应关系 避坑指南：斜率 $k<0$ 时倾斜角在第二象限，须写成 $\pi -\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$，不能直接写成 $\arctan k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直线方程与倾斜角、斜率的对应关系 结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 的斜率 $k=-\frac{A}{B}$（$B\ne 0$），倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =k$ 且按象限确定主值 方法推广：由方程定斜率、由斜率符号定象限、再由反三角函数定倾斜角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-06 解-直线的斜率与倾角
• 1977-新疆文-07 解-两点式直线方程
• 1987-上海-19 单-直线的倾斜角