1993-旧高考文-05 单-正棱锥的存在性判定

本题导读

本题考查正棱锥的结构特征，以及正多边形外接圆半径与边长的关系。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ()

A. 三棱锥　　　　B. 四棱锥　　　　C. 五棱锥　　　　D. 六棱锥

🔍【思路分析】

破题导航

由 $s^2=R^2+h^2$ 知需 $R<s$；$n=6$ 时 $R=s$，高为零退化。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设底面正 $n$ 边形边长与侧棱长均为 $s$，外接圆半径 $R=\frac{s}{2\sin (\pi /n)}$。由 $s^2=R^2+h^2$ 知必须 $R<s$。$n=3,4,5$ 时 $\sin \frac{\pi }{n}>\frac{1}{2}$，$R<s$ 可取正高；$n=6$ 时 $R=s$，只能 $h=0$，不能构成棱锥。故一定不是六棱锥，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正棱锥的存在性判定

核心方法：底面正 $n$ 边形边长=侧棱长时需 $R=\frac{s}{2\sin (\pi /n)}<s$，$n=6$ 时 $R=s$ 高为零，故一定不是六棱锥

避坑指南：由 $s^2=R^2+h^2$ 知必须有 $R<s$，临界情形 $n=6$ 退化

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正多边形外接圆性质

结论推广：正 $n$ 棱锥底边=侧棱可行当且仅当 $n\le 5$

方法推广：存在性问题从极端（临界）情形入手

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-上海文-14A 填-正四棱锥的侧面积
• 1995-上海理-04 单-棱锥中截面的面积
• 2001-大纲文-18 解-四棱锥体积与二面角