1993-旧高考文-04 单-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及复数三角形式的周期性。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 当 $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ 时，$z^{100}+z^{50}+1$ 的值等于 ()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. i　　　　　　　D. -i

🔍【思路分析】

破题导航

$z=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$，则 $z^{50}=i$、$z^{100}=-1$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$，所以 $z^{50}=\cos \frac{25\pi }{2}+i\sin \frac{25\pi }{2}=i$，$z^{100}=\cos 25\pi +i\sin 25\pi =-1$。故 $z^{100}+z^{50}+1=-1+i+1=i$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方运算

核心方法：$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$，则 $z^{50}=i$、$z^{100}=-1$，原式 $=i$

避坑指南：先化三角形式定辐角，再利用周期性降幂

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数三角形式

结论推广：$z^{100}+z^{50}+1$ 型可令 $w=z^{50}$ 降次

方法推广：复数高次幂先化 $\cos \phi +i\sin \phi$ 再用周期性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1994-上海-16 单-复数的乘方与单位根
• 1994-上海文-16 单-复数的乘方与单位根
• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角