1993-新高考文-27 解-面面垂直与线面垂直的证明

本题导读

本题考查面面垂直与线面垂直的证明。核心在于面面垂直的性质定理与过一点唯一垂线。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 已知：平面 $\alpha \cap \beta =$ 直线 $a$.$\alpha ,\beta$ 同垂直于平面 $\gamma$，又同平行于直线 $b$.求证：

(1)$a\perp \gamma$；

(2)$b\perp \gamma$.

🔍【思路分析】

破题导航

在 $a$ 上取点作 $\gamma$ 的垂线，由面面垂直性质该垂线在 $\alpha ,\beta$ 内，故与 $a$ 重合；再由 $b\parallel \alpha ,\beta$ 得 $b\parallel a$。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）在交线 $a$ 上任取一点 $O$，过 $O$ 作 $\gamma$ 的垂线 $n$。因 $\alpha \perp \gamma$，由面面垂直的性质定理，$n\subset \alpha$；同理 $\beta \perp \gamma$，$n\subset \beta$。于是 $n\subset \alpha \cap \beta =a$，即 $n$ 就是 $a$，故 $a\perp \gamma$。 （2）因 $b\parallel \alpha$，在 $\alpha$ 内存在与 $b$ 平行的直线；又 $b\parallel \beta$，同理。由 $b$ 同时平行于两相交平面 $\alpha ,\beta$，可得 $b\parallel (\alpha \cap \beta )=a$（$b$ 的方向同时平行于 $\alpha ,\beta$ 的法方向，故平行于交线 $a$）。已证 $a\perp \gamma$，故 $b\perp \gamma$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直与线面垂直的证明

核心方法：在 $\alpha ,\beta$ 内分别作交线 $a$ 上点的垂线，由面面垂直性质两线均⊥$\gamma$ 故重合于 $a$；$b\parallel \alpha$ 且 $b\parallel \beta$ 推出 $b\parallel a$

避坑指南：面面垂直性质定理+过一点唯一垂线，再以交线传递

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于面面垂直的性质

结论推广：两相交平面同垂直于第三平面则交线垂直于第三平面

方法推广：性质定理+唯一垂线是核心链条

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积
• 1998-全国卷文-23 解-斜三棱柱的角与距离
• 2000-大纲文-19 解-平行六面体的线面垂直