1999-全国卷理-18 填-线面垂直的命题构造

本题导读

本题考查空间线面垂直与面面垂直的判定，以及它们之间的相互转化。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） $\alpha$、$\beta$ 是两个不同的平面，$m$、$n$ 是平面 $\alpha$ 及 $\beta$ 之外的两条不同直线，给出四个论断：① $m\perp n$；② $\alpha \perp \beta$；③ $n\perp \beta$；④ $m\perp \alpha$. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建法向量模型：设平面 $\alpha ,\beta$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }$，直线 $m,n$ 的方向向量分别为 $\vec{m},\vec{n}$。
2. 将论断代数化：

• ① $m\perp n⟺\vec{m}\perp \vec{n}$
• ② $\alpha \perp \beta ⟺{\vec{n}}_{\alpha }\perp {\vec{n}}_{\beta }$
• ③ $n\perp \beta ⟺\vec{n}\parallel {\vec{n}}_{\beta }$
• ④ $m\perp \alpha ⟺\vec{m}\parallel {\vec{n}}_{\alpha }$

3. 检验逻辑链：根据向量的传递性，若 ③ 和 ④ 成立，则 $\vec{m}$ 与 ${\vec{n}}_{\alpha }$ 同向或反向，$\vec{n}$ 与 ${\vec{n}}_{\beta }$ 同向或反向。此时，① 发生等价代换必然得出 ②，反之亦然。

✅【答案】

Success

若 ①、③、④ 则 ②（或：若 ②、③、④ 则 ①）

✍【详细解析】

Abstract

根据空间向量的垂直与平行判定原理： 已知 ③ $n\perp \beta$ 和 ④ $m\perp \alpha$ 成立时，直线 $n$ 的方向向量可作为平面 $\beta$ 的法向量，直线 $m$ 的方向向量可作为平面 $\alpha$ 的法向量。

• 组合判定一： 取 ①③④ 作为条件。 因为 $n\perp \beta ,m\perp \alpha$，且 $m\perp n$（即两平面的法向量互相垂直）， 由面面垂直的判定定理（法向量互相垂直则平面垂直）可得 $\alpha \perp \beta$，即结论 ② 成立。 得真命题：若 ①③④ 则 ②。

• 组合判定二： 取 ②③④ 作为条件。 因为 $n\perp \beta ,m\perp \alpha$，且 $\alpha \perp \beta$（即两平面的法向量互相垂直）， 推得两直线方向向量垂直，即 $m\perp n$，结论 ① 成立。 得真命题：若 ②③④ 则 ①。

(注：任写其中一个组合均可得分)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直转化为线线垂直或面面垂直的判定定理；面面垂直转化为法向量垂直。
2. 核心方法：法向量等价代换法。将几何文字转译为 $\vec{m},\vec{n},{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }$ 之间的 $\parallel$ 与 $\perp$ 关系，能快速判定真伪。
3. 避坑指南：

• 切勿凭空进行空间想象构图，极易产生“特例假象”导致错判。
• 必须排除包含 ①、② 作为条件推导 ③ 或 ④ 的伪命题：例如已知 $m\perp n$ 且 $\alpha \perp \beta$ 且 $m\perp \alpha$，只能推导出 $n\parallel \beta$ 或 $n\subset \beta$，无法得出 $n\perp \beta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为立体几何逻辑推断的经典题，现今高考常以“四选一”的真假命题判断选择题形式出现。
2. 结论推广：在空间垂直系统证明中，“线面垂直（即条件③④）”是联结“线线垂直（①）”与“面面垂直（②）”的核心枢纽纽带。即：线面垂直 + 线线垂直 <=> 面面垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-北京文-17 解-面面垂直与线面垂直
• 1993-新高考文-27 解-面面垂直与线面垂直的证明
• 2004-福建理-19 解-面面垂直与线面垂直