1993-新高考文-18 填-反三角函数的和角求值

本题导读

本题考查反三角函数的和角求值，以及和角正弦公式的运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） $\sin \left(\arccos \frac{1}{2}+\arccos \frac{1}{3}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $\alpha =\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$、$\beta =\arccos \frac{1}{3}$，$\sin \beta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$，代入和角公式。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$\alpha =\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha =\frac{1}{2}$；$\beta =\arccos \frac{1}{3}$，$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的和角求值

核心方法：$\sin (\alpha +\beta )=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

避坑指南：反三角即给角，代入和角正弦公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于反三角与和角公式

结论推广：$\arccos$ 值代入 $\sin (\alpha +\beta )$ 展开即可

方法推广：反三角求值=给定角再套公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值
• 1994-上海-02 填-半角三角函数的求值