1993-新高考文-15 单-等比数列两项和的大小比较

本题导读

本题考查等比数列两项和的大小比较，以及作差因式分解。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)）已知 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 为各项都大于零的等比数列，公比 $q \neq = 1$ ，则 ()

A. $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 　　B. $a_{1} + a_{8} < a_{4} + a_{5}$ 　　C. $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ 　　D. 不能由已知条件确定

🔍【思路分析】

破题导航

$a_{1} + a_{8} - (a_{4} + a_{5}) = a_{1} (1 - q^{3}) (1 - q^{4}) > 0$ 恒成立。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$a_{1} + a_{8} - (a_{4} + a_{5}) = a_{1} + a_{1} q^{7} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} = a_{1} (1 - q^{3} - q^{4} + q^{7}) = a_{1} (1 - q^{3}) (1 - q^{4})$ 。因各项为正且 $q \neq = 1$ ：若 $q > 1$ ，则 $1 - q^{3} < 0$ 、 $1 - q^{4} < 0$ ，乘积为正；若 $0 < q < 1$ ，则 $1 - q^{3} > 0$ 、 $1 - q^{4} > 0$ ，乘积为正。故 $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ ，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列两项和的大小比较

核心方法： $a_{1} + a_{8} - (a_{4} + a_{5}) = a_{1} (1 - q^{3}) (1 - q^{4}) > 0$ 恒成立，故 $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$

避坑指南：作差后按 $q > 1$ 与 $0 < q < 1$ 分别定号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列性质

结论推广： $a_{1} + a_{n}$ 与中段两项和的比较可化作差因式

方法推广：作差分解为 $(1 - q^{m}) (1 - q^{n})$ 型定号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1994-上海-26 解-等比数列与递推数列的最值

1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项

2000-大纲文-11 单-抛物线焦点弦的倒数和

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