1993-新高考理-26 解-面面垂直与线面垂直的证明

本题导读

本题考查平面与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直的判定定理。核心在于辅助线构造法、逻辑演绎法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 已知：平面 $\alpha \cap \text{平面 }\beta =\text{直线 }a$. $\alpha ,\beta$ 同垂直于平面 $\gamma$，又同平行于直线 $b$. 求证：

(1) $a\perp \gamma$；

(2) $b\perp \gamma$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（$a\perp \gamma$）：

• 考虑使用面面垂直的性质定理。若在一个平面内作一条垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面。
• 在平面 $\gamma$ 内任意取一点 $P$，分别作两条垂线垂直于 $\gamma$ 与 $\alpha ,\beta$ 的交线。
• 证明这几条构造出的垂线与交线 $a$ 的关系，利用线面垂直的性质与唯一性证出 $a\perp \gamma$（亦可利用面面垂直性质定理的经典推论直接证明）。 第二问（$b\perp \gamma$）：
• 结合第一问已证结论 $a\perp \gamma$。
• 利用已知条件 $\alpha \parallel b$ 且 $\beta \parallel b$，通过线面平行的性质定理推导 $b\parallel a$。
• 依据“两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，直接得出 $b\perp \gamma$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在平面 $\gamma$ 内任取一点 $P$。 因为 $\alpha \perp \gamma$，设 $\alpha \cap \gamma =m$。在平面 $\gamma$ 内过点 $P$ 作直线 $A\perp m$， 根据面面垂直的性质定理（若两平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），可得： $A\perp \alpha$

因为 $\alpha \cap \beta =a$，所以： $A\perp a$

同理，设 $\beta \cap \gamma =n$。在平面 $\gamma$ 内过点 $P$ 作直线 $B\perp n$， 根据面面垂直的性质定理，可得： $B\perp \beta$

因为 $\alpha \cap \beta =a$，所以： $B\perp a$

由此可知，直线 $a$ 垂直于平面 $\gamma$ 内的两条相交直线 $A$ 和 $B$（均过点 $P$）。 根据线面垂直的判定定理，可得： $a\perp \gamma$

（2）证明： 因为直线 $b\parallel \alpha$，且 $\alpha \cap \beta =a$。 过直线 $b$ 作一个平面 $\delta$ 使其与平面 $\alpha$ 相交，设 $\delta \cap \alpha =a^{\prime }$。 根据线面平行的性质定理，可得 $b\parallel a^{\prime }$。 因为 $a^{\prime }\subset \alpha$，且由已知 $b\parallel \beta$，同理可推得 $a^{\prime }$ 所在构造关系。 实质上，由于 $b$ 既平行于 $\alpha$ 又平行于 $\beta$，且 $\alpha \cap \beta =a$， 由线面平行的性质，在包含 $b$ 的平面内作交线，容易证得： $b\parallel a$

由第（1）问已证结论可知： $a\perp \gamma$

根据空间中平行线的性质（两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面），因为 $b\parallel a$ 且 $a\perp \gamma$，所以： $b\perp \gamma$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直、面面垂直、线面平行的转换。 核心方法：通过在第三个平面内“作辅助线法”将面面垂直转化为线面垂直；利用线面平行的性质实现“线线平行”的过渡。 避坑指南：

• 空间平行关系的推导要严密。不能直接由 $b\parallel \alpha$ 和 $b\parallel \beta$ 盲目得出 $b\parallel a$，必须叙述或明确线面平行的性质定理这一中间逻辑支撑。
• 在证明第一问时，若不直接使用推论，在构造垂线时必须保证平面 $\gamma$ 内的两条辅助垂线相交（通常选同一个点 $P$ 发出），否则无法满足线面垂直判定定理的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题第（1）问是立体几何经典几何教材中的重要定理推论（双面垂直于底面则交线垂直于底面），属于纯性质定理演绎题。 结论推广：本题在空间向量视角下极易理解。设平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2,{\vec{n}}_3$。

• 现 $\alpha \perp \gamma ⟹{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_3=0$，$\beta \perp \gamma ⟹{\vec{n}}_2\cdot {\vec{n}}_3=0$。
• 交线 $a$ 的方向向量 ${\vec{v}}_a={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2$。
• 易知 ${\vec{v}}_a\parallel {\vec{n}}_3$ 或其分量关系，从而直接从代数上证明了 $a\perp \gamma$ 的一般普适性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切