1993-新高考理-19 填-含参数双曲线的公共点

本题导读

本题考查双曲线的几何性质（实半轴、顶点），以及圆的几何性质（半径）。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 若双曲线 $\frac{x^2}{9k^2}-\frac{y^2}{4k^2}=1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 没有公共点，则实数 $k$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分析双曲线特征：由方程可知双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其顶点坐标为 $(\pm 3|k|,0)$，且双曲线上的点满足 $|x|\ge 3|k|$（因为 $k\ne 0$）。 分析圆的特征：圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心在原点，半径 $R=1$，圆上所有点满足 $|x|\le 1$。 几何关系转化：双曲线两支向左右两侧无限延伸，若与圆没有公共点，只需双曲线的顶点在圆的外部，即顶点的横坐标绝对值大于圆的半径。 求解不等式：列出绝对值不等式 $3|k|>1$，解出 $k$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

$|k|>\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{9k^2}-\frac{y^2}{4k^2}=1$ 可知，$k\ne 0$。 该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其实半轴长 $a=\sqrt{9k^2}=3|k|$。 因此，双曲线上的任意点 $(x,y)$ 均满足： $|x|\ge 3|k|$

圆 $x^2+y^2=1$ 的半径 $R=1$，圆上任意点 $(x,y)$ 均满足： $|x|\le 1$

若双曲线与圆没有公共点，则双曲线两支必须位于圆的外部。 结合其几何图形的对称性，只需双曲线的顶点到原点的距离大于圆的半径，即： $3|k|>1$

解该绝对值不等式得： $|k|>\frac{1}{3}$

即： $k>\frac{1}{3}\text{或}k<-\frac{1}{3}$

答案： $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的几何性质、圆与圆锥曲线的位置关系。 核心方法：数形结合法。通过观察双曲线顶点与圆的位置关系，直接规避了联立方程组求判别式的复杂代数运算。 避坑指南：

• 易错点在于对开方漏掉绝对值。由 $a^2=9k^2$ 得到 $a=3|k|$，若误写为 $a=3k$，会导致丢掉负值区间。
• 联立方程法在此类题中较为繁琐（需讨论截距范围），直接利用顶点的临界位置求解最为严谨高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查圆锥曲线的基本标准方程及其几何性质，属于解析几何中的经典基础题型。 结论推广：对于中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与圆 $x^2+y^2=R^2$，若两者没有公共点，其充要条件为 $a>R$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质
• 1983-全国文-06 解-方程表示图形与作图
• 1989-上海-20 单-参数方程与曲线