1993-新高考理-04 单-极坐标方程表示的曲线

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆锥曲线的统一极坐标方程。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 极坐标方程 $\rho =\frac{4}{3-5\cos \theta }$ 所表示的曲线是 ()

A. 焦点到准线距离为 $\frac{4}{5}$ 的椭圆 B. 焦点到准线距离为 $\frac{4}{5}$ 的双曲线右支 C. 焦点到准线距离为 $\frac{4}{3}$ 的椭圆 D. 焦点到准线距离为 $\frac{4}{3}$ 的双曲线右支

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（化简与转换）： 将已知极坐标方程去分母变形为 $3\rho -5\rho \cos \theta =4$。利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，将其转化为直角坐标方程，从而判断曲线类型。
2. 第二步逻辑（求几何量）： 整理直角坐标方程，将其化为标准双曲线方程，求出基本量 $a,c$，进而算出焦点到准线的距离 $d=\frac{a^2}{c}-c$ 的绝对值，或者直接利用圆锥曲线统一极坐标公式 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ 提取出离心率 $e$ 与焦点到准线的距离 $p$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直角坐标转换法 由原方程 $\rho =\frac{4}{3-5\cos \theta }$，去分母得： $3\rho -5\rho \cos \theta =4$ 将 $\rho \cos \theta =x$ 代入得： $3\rho -5x=4⟹3\rho =5x+4$ 两边平方得： $9{\rho }^2=(5x+4{)}^2$ 将 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 代入上式： $9(x^2+y^2)=25x^2+40x+16$ $16x^2+40x-9y^2+16=0$ 配方整理得： $16{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-9y^2=9$ 两边同除以 9 得： $\frac{{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2}{\frac{9}{16}}-\frac{y^2}{1}=1$ 此方程表示一个中心在 $\left(-\frac{5}{4},0\right)$ 的双曲线。 由于原极坐标方程中 $\rho >0$，由 $3\rho =5x+4$ 可知 $5x+4>0⟹x>-\frac{4}{5}$，而双曲线的左顶点为 $x=-\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=-2$，右顶点为 $x=-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$。因为 $-\frac{1}{2}>-\frac{4}{5}$，所以该曲线仅对应双曲线的右支。

下面求焦点到准线的距离： 由标准方程可知该双曲线的 $a^2=\frac{9}{16}⟹a=\frac{3}{4}$，$b^2=1$。 则 $c^2=a^2+b^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}⟹c=\frac{5}{4}$。 该双曲线的左焦点坐标为 $\left(-\frac{5}{4}-c,0\right)=\left(-\frac{5}{4}-\frac{5}{4},0\right)=(-2.5,0)$。 右焦点坐标为 $\left(-\frac{5}{4}+c,0\right)=(0,0)$，即极点为右焦点。 极点（右焦点）到其对应准线的距离为： $p=\left|c-\frac{a^2}{c}\right|=\left|\frac{5}{4}-\frac{\frac{9}{16}}{\frac{5}{4}}\right|=\left|\frac{5}{4}-\frac{9}{20}\right|=\frac{25-9}{20}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$ 故正确答案为：B

方法二：圆锥曲线统一极坐标方程法（法） 以圆锥曲线的焦点为极点，极轴指向对应准线相反方向的统一极坐标方程为： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ 其中 $e$ 为离心率，$p$ 为焦点到准线的距离。 将原方程分子分母同除以 3，化为标准形式： $\rho =\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{3}\cos \theta }$ 对比公式系数可得： 离心率 $e=\frac{5}{3}>1$，故曲线为双曲线（且极点为右焦点，方程对应右支）。 分子 $ep=\frac{4}{3}$，将 $e=\frac{5}{3}$ 代入得： $\frac{5}{3}p=\frac{4}{3}⟹p=\frac{4}{5}$ 即焦点到准线的距离为 $\frac{4}{5}$。 故正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 极坐标与直角坐标的互化公式，以及双曲线的基本几何性质。
2. 核心方法： 方法二利用圆锥曲线的统一极坐标方程进行特征匹配，是最为高效的方法，省去了繁琐的配方和坐标变换计算。
3. 避坑指南： - 在使用方法一两边平方时，扩大了自变量的取值范围，必须注意到隐藏条件 $\rho >0⟹5x+4>0$，从而剔除双曲线的左支。
   • 区分“焦点到准线的距离 $p$”与“中心到准线的距离 $\frac{a^2}{c}$”，本题问的是焦点到准线的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题源于经典平面解析几何中的圆锥曲线统一性理论（即点到定点与定直线的距离之比为常数 $e$）。在现行高考中，极坐标常作为选考内容（坐标系与参数方程）进行独立命题。
2. 结论推广（统一极坐标方程）： 以圆锥曲线的左（内）焦点为极点，极轴正方向沿主轴向右，对应的准线方程为 $x=-p$，则其极坐标方程为： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$
   • 当 $0<e<1$ 时，曲线为椭圆；
   • 当 $e=1$ 时，曲线为抛物线；
   • 当 $e>1$ 时，曲线为双曲线的右支。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.02 双曲线专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-12 单-极坐标方程表示的曲线
• 1987-广东理-27 填-圆的极坐标方程
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程