1993-上海-23 解-抛物线与直线的位置关系

本题导读

本题考查抛物线与直线的位置关系。核心在于把斜率之和条件转化为韦达定理。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 抛物线 $y=-\frac{x^2}{2}$ 与过点 $M(0,-1)$ 的直线 $l$ 相交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点.若直线 $OA$ 与 $OB$ 的斜率之和为 $1$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $l:y=kx-1$，联立得 $x^2+2kx-2=0$，由 $k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$ 得 $k=1$。

✅【答案】

Success

$y=x-1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，直线 $l:y=kx-1$。代入抛物线 $y=-\frac{x^2}{2}$ 得 $kx-1=-\frac{x^2}{2}$，即 $x^2+2kx-2=0$，故 $x_1+x_2=-2k$，$x_1{x}_2=-2$。$k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}$。因 $y_1=-\frac{x_1^2}{2}$、$y_2=-\frac{x_2^2}{2}$，故 $\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=-\frac{x_1}{2}-\frac{x_2}{2}=-\frac{x_1+x_2}{2}=k$。由条件 $=1$，得 $k=1$。故直线 $l:y=x-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与直线的位置关系

核心方法：设 $l:y=kx-1$，联立抛物线得 $x^2+2kx-2=0$，$k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$ 得 $k=1$，$l:y=x-1$

避坑指南：斜率之和条件转韦达定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直线与抛物线

结论推广：斜率之和条件用韦达定理

方法推广：设直线方程联立消元

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海文-24 解-抛物线围成面积与动点轨迹
• 1993-旧高考文-19 填-抛物线的焦点弦
• 1996-上海文-20 解-抛物线的实际应用