1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值

本题导读

本题考查二倍角与和角公式的求值。核心在于由终边上点定出三角函数值。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 已知角 $\alpha$ 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 $x$ 轴的正半轴上，终边经过点 $P(-1,2)$，求 $\sin \left(2\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $P(-1,2)$ 得 $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}},\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$，再倍角、和角。

✅【答案】

Success

$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

$r=|OP|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{5}$，故 $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$。于是 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{4}{5}$，$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$。故 $\sin \left(2\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{2\pi }{3}+\cos 2\alpha \sin \frac{2\pi }{3}=\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{5}-\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与和角公式求值

核心方法：$P(-1,2)$ 得 $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}},\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin 2\alpha =-\frac{4}{5},\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，代入和角得 $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

避坑指南：由终边上点定三角函数再倍角、和角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角求值

结论推广：终边点定三角比，倍角和角链式求

方法推广：先定 $\sin ,\cos$ 再倍角、和角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1994-上海-21 解-正切的差角与倍角求值
• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值