1993-上海-06 填-定比分点与共线点

本题导读

本题考查定比分点，以及共线三点间分比的换算。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） $P$ 点分 $AB$ 所成的比是 $-3$，则 $B$ 点分 $AP$ 所成的比是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$P$ 分 $AB$ 比 $-3$ 即 $P$ 在 $AB$ 延长线上；$B$ 分 $AP$ 比 $\lambda =\frac{AB}{BP}=2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $P$ 分 $AB$ 的比为 $-3$ 得 $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{PB}$，即 $AP=3PB$ 且两向量反向——$P$ 不在 $A$、$B$ 之间，而在 $B$ 的外侧，此时 $AB=AP-PB=2PB$。

改看 $B$ 分 $AP$ 所成的比 $\mu$，它是 $\overrightarrow{AB}=\mu \overrightarrow{BP}$ 中的 $\mu$。由于 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BP}$ 同向（都从 $A$ 指向 $P$ 那一侧），且 $AB=2PB$，故 $\mu =\frac{AB}{BP}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定比分点与共线点

核心方法：$P$ 分 $AB$ 比 $-3$ 即 $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{PB}$；换成 $B$ 分 $AP$ 时用 $\overrightarrow{AB}=\mu \overrightarrow{BP}$ 重读，$\mu =2$

避坑指南：比是”起点到分点 ∶ 分点到终点”的有向比，换了起点或终点就要重算，不能把 $-3$ 直接取倒数或变号了事；$\lambda <0$ 说明分点落在线段外（外分）。代公式 $P=\frac{P_1+\lambda P_2}{1+\lambda }$ 时负号必须带进去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定比分点是旧大纲”直线与方程”一节的核心工具，新课标把它并入向量线性运算，考法从”套公式求坐标”改成”读比值的正负与大小”。

结论推广：同一直线上的三点，两两之间的三个比可以互相换算。若 $P$ 分 $AB$ 的比为 $\lambda$（即 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，且 $P=\frac{A+\lambda B}{1+\lambda }$），则 $B$ 分 $AP$ 的比为 $-(1+\lambda )$，$A$ 分 $PB$ 的比为 $-\frac{\lambda }{1+\lambda }$。本题 $\lambda =-3$ 代入，前者得 $2$，后者得 $-\frac{3}{2}$，与逐段画图数的结果一致。

方法推广：凡”换起点换终点重读比”的问题，一律先把已知比翻成向量等式（如 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$），再统一到同一条有向线段上比较系数，比直接在图上数长度更不容易错符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-15A 填-线段的定比分点
• 1996-上海理-15A 填-线段的定比分点
• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标