1992-全国卷理-28 解-椭圆弦中点的范围

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系（弦中点问题）。核心在于点差法（中点弦公式）、坐标代数不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)， $A$、 $B$ 是椭圆上的两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P(x_0,0)$.证明： $-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$

🔍【思路分析】

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1. 分类讨论斜率：线段 $AB$ 的斜率可能存在，也可能不存在。
   • 当 $AB$ 斜率不存在时， $AB\perp x$ 轴，其垂直平分线即为 $x$ 轴本身或与之平行，相交情况非常特殊，可先单独处理。
   • 当 $AB$ 斜率存在时（设为 $k$），采用常规解析法。
2. 运用“点差法”建立框架：设 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$，中点为 $M(x_m,y_m)$。 将两点坐标代入椭圆方程，两式相减可得弦斜率 $k$ 与中点坐标的经典不变量关系： $k\cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}⟹k\cdot \frac{y_m}{x_m}=-\frac{b^2}{a^2}$
3. 引入垂直平分线方程：垂直平分线的斜率 $k_{\perp }=-\frac{1}{k}$，且通过中点 $M(x_m,y_m)$。利用点斜式写出方程，并令 $y=0$ 算出它在 $x$ 轴上的截距 $x_0$ 表达式。
4. 范围缩放定区间：将 $x_0$ 用中点横坐标 $x_m$ 线性表出，利用中点 $M$ 严格落在椭圆内部（或 $A,B$ 坐标限制）推导出 $x_m$ 的取值范围，进而完成对 $x_0$ 范围的最终证明。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

设线段 $AB$ 的两个端点坐标分别为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$，线段 $AB$ 的中点为 $M(x_m,y_m)$。 根据中点坐标公式有： $x_m=\frac{x_1+x_2}{2},y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$

下面对直线 $AB$ 的斜率是否存在进行分类讨论：

情况一：当直线 $AB$ 的斜率不存在时 此时，直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，因为 $A,B$ 是椭圆上互不相同的两点，所以有 $x_1=x_2=x_m$ 且 $y_1=-y_2$。 由中点公式可知，中点 $M$ 必然在 $x$ 轴上，即 $y_m=0$。 此时，线段 $AB$ 的垂直平分线就是 $x$ 轴本身。由于题目明确指出该垂直平分线与 $x$ 轴“相交于单一点 $P(x_0,0)$”，这意味着垂直平分线不能与 $x$ 轴重合。 因此，直线 $AB$ 的斜率不存在这种情况在题意约束下不成立。

情况二：当直线 $AB$ 的斜率存在时 设直线 $AB$ 的斜率为 $k$。因为 $A,B$ 两点在椭圆上，将它们的坐标分别代入椭圆的标准方程中： \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \tag{1} \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \tag{2}

(1) 式减去 (2) 式，运用平方差公式展开： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0$

将 $x_1+x_2=2x_m$，$y_1+y_2=2y_m$ 代入上式中： $\frac{2x_m(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{2y_m(y_1-y_2)}{b^2}=0$

由于 $A,B$ 为不同两点且斜率存在，有 $x_1-x_2\ne 0$。两边同除以 $2(x_1-x_2)$ 变形得： \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{b^2 x_m}{a^2 y_m} \implies k = -\frac{b^2 x_m}{a^2 y_m} \tag{3}

因为线段 $AB$ 的垂直平分线与直线 $AB$ 互相垂直，所以垂直平分线的斜率 $k_{\perp }$ 为： k_{\perp} = -\frac{1}{k} = \frac{a^2 y_m}{b^2 x_m} \quad (\text{此时 } x_m \neq 0, y_m \neq 0) \tag{4}

由于垂直平分线通过弦 $AB$ 的中点 $M(x_m,y_m)$，利用点斜式写出垂直平分线的直线方程： $y-y_m=\frac{a^2{y}_m}{b^2{x}_m}(x-x_m)$

已知该直线与 $x$ 轴相交于点 $P(x_0,0)$，将点 $P$ 的坐标 $(x_0,0)$ 代入方程中： $0-y_m=\frac{a^2{y}_m}{b^2{x}_m}(x_0-x_m)$

因为垂直平分线与 $x$ 轴有唯一的交点且斜率存在，必有 $y_m\ne 0$，两边同除以 $-y_m$： $1=-\frac{a^2}{b^2{x}_m}(x_0-x_m)⟹x_0-x_m=-\frac{b^2}{a^2}{x}_m$

移项整理，将交点横坐标 $x_0$ 统一用中点横坐标 $x_m$ 线性表出： x_0 = x_m - \frac{b^2}{a^2}x_m = \left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right)x_m = \frac{a^2 - b^2}{a^2}x_m \tag{5}

下面确定中点横坐标 $x_m$ 的取值范围： 由于 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 是椭圆上的两个相异端点，其横坐标的法定取值范围为 $[-a,a]$。 因为直线 $AB$ 的斜率存在且不为 0（若 $k=0$ 则 $y_1=y_2$, $y_m\ne 0⟹x_0=0$ 在范围内），所以 $A,B$ 两点不能同时为椭圆的左、右顶点。 根据平均数性质或端点限制，其中点横坐标 $x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$ 必须严格地位于椭圆左、右顶点之间（即中点 $M$ 必在椭圆内部）： $-a<x_m<a$

在不等式 $-a<x_m<a$ 的各项同时乘以正系数 $\frac{a^2-b^2}{a^2}$（因为 $a>b>0$，所以该系数恒大于 0）： $-a\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2}<\frac{a^2-b^2}{a^2}{x}_m<a\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2}$

将 (5) 式的 $x_0$ 整体代换入中间项，化简两端常数： $-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$

椭圆的垂直平分线截距范围得到完美证明。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点差法在中点弦问题中的应用，垂直平分线方程的构建，解析几何中范围与不等式的转化。
2. 核心方法：
   • 点差法：凡是遇到圆锥曲线中同时涉及“弦中点坐标”与“弦斜率”的题目，无需联立韦达定理，直接用两点坐标代入方程作差，这是解析几何中最具技巧性、也是最不容易出错的通用王道方法。
3. 避坑指南：
   • 证明过程中容易漏掉对 $x_m$ 取到端点 $\pm a$ 的边界讨论。必须强调 $A,B$ 是相异的两点，且垂直平分线与 $x$ 轴不能重合，所以中点 $M$ 只能严格落在椭圆内部，即 $-a<x_m<a$ 必须是严格开区间。若写成闭区间，会因为边界无法取到而造成不必要的步骤扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何板块非常经典的“一位置定最值”大题，直接考查解析几何核心的“点差法”基本功。该题型的变体至今仍高频活跃在各省市的高考压轴题、模考题中。
2. 结论推广：
   • 如果将本题的椭圆方程引入焦距参数 $c$（因为 $c^2=a^2-b^2$），则目标证明的不等式可以写成更加精简的几何形式： $-\frac{c^2}{a}<x_0<\frac{c^2}{a}$
   • 该结论表明：椭圆上任意弦的垂直平分线在实轴上的截距绝对值，永远不可能超过 $\frac{c^2}{a}$。这一几何特性在光学、天体轨道的扰动分析中具有非常深远的物理应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹

• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹

• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标