本题导读
本题考查复数的代数形式及基本概念、共轭复数。核心在于待定系数法（设 ）、实虚部分离法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1992年全国卷(理)） 已知 ，解方程： .
🔍【思路分析】
破题导航
- 设未知数：引入实数代数未知数，设 ()，则其共轭复数为 。
- 代入方程化简：将 和 代入原方程，利用复数乘法与虚数单位性质 展开左端。
- 分离实虚部：将方程左端整理成标准的 形式。
- 构造方程组：根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），令两端对应相等，建立关于 和 的二元二次方程组。
- 求解并写出复数：解方程组得到 的值，最终组合写出满足条件的复数 。
✅【答案】
Success
或
✍【详细解析】
Abstract
解： 设所求复数 ()， 则其共轭复数为：
根据复数的运算性质，有：
将 与 代入原方程中：
展开左侧含有虚数单位的项：
因为 ，所以 。将左侧按实部与虚部重新分组归纳：
根据两个复数相等的充要条件（实部与虚部分别相等），可得关于实数 的方程组： \begin{cases} x^2 + y^2 - 3y = 1 \tag{1} \\ -3x = 3 \tag{2} \end{cases}
由方程 (2) 直接解得：
将 代入方程 (1) 中：
对 的二次方程进行因式分解： 解得：
将求得的实数值重新代回设定的代数式中，得到两组解：
- 当 时， ；
- 当 时， 。
所以，原方程的解为 或 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：共轭复数的定义，复数相等的充要条件（即复数问题实数化的核心思想）。
- 核心方法：待定系数法。这是攻克所有混合了 的复合复数方程的通用万能解法。
- 避坑指南：
- 设 时，务必写明 。在解答题中如果不强调该范围，后续令实虚部对应相等的步骤在逻辑上就不成立，会造成步骤扣分。
- 注意 ，此处极易因为负负得正、再乘以 变号的多重变换而弄错正负号。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于复数板块的基本大题。直接取材于高中代数教材下册“复数”一章的课后复习题及例题，主要考查学生基本的代数运算与严谨的解方程组基本功。
- 结论推广：对于更一般的复数方程 （其中 均为实数且 ），运用本题方法转化为 。只要满足对应判别式，均可精确平移求得两条实数交点解。
🔗【关联脉络】
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