1992-全国卷理-17 单-二次函数的对称性

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质，以及二次函数的对称性。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 如果函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t)=f(2-t)$，那么 ()

A. $f(2)<f(1)<f(4)$　　　　　　　　　　　　B. $f(1)<f(2)<f(4)$

C. $f(2)<f(4)<f(1)$　　　　　　　　　　　　D. $f(4)<f(2)<f(1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定对称轴：已知对任意实数 $t$ 恒有 $f(2+t)=f(2-t)$。根据二次函数的对称性规律，可知该抛物线的对称轴方程为 $x=2$。
2. 分析开口方向：观察二次项系数， $a=1>0$，说明抛物线开口向上。
3. 利用单调性（距离法则）比大小：对于开口向上的抛物线，自变量 $x$ 的值离对称轴越近，其对应的函数值 $f(x)$ 越小；离对称轴越远，函数值 $f(x)$ 越大。计算 1, 2, 4 到对称轴 2 的绝对距离进行排序即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二次函数的性质，关系式 $f(2+t)=f(2-t)$ 意味着函数图象关于直线 $x=2$ 轴对称。 因此，该二次函数的对称轴为： $x=2$

因为二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的二次项系数 $a=1>0$， 所以该抛物线开口向上，在对称轴 $x=2$ 处取得函数的最小值。

对于开口向上的抛物线，自变量偏离对称轴的距离越远，函数值越大。 我们来计算题目中各点 $x=1,2,4$ 到对称轴 $x=2$ 的绝对距离：

• 点 $x=2$ 到对称轴的距离为： $|2-2|=0$（最近，函数值最小）
• 点 $x=1$ 到对称轴的距离为： $|1-2|=1$
• 点 $x=4$ 到对称轴的距离为： $|4-2|=2$（最远，函数值最大）

因为距离大小关系为 $0<1<2$， 所以对应的函数值大小关系为： $f(2)<f(1)<f(4)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的对称轴通式，开口向上的抛物线关于“近低远高”的几何特质。
2. 核心方法：
   • 距离对称轴远近法：这是处理二次函数值比较最核心、最直观的通用方法。
   • 特殊值法技巧）：因为满足条件的二次函数有很多，可以直接构造一个最简单的、以 $x=2$ 为对称轴且开口向上的二次函数，例如令 $f(x)=(x-2{)}^2$。 直接代入求值： $f(2)=(2-2{)}^2=0$； $f(1)=(1-2{)}^2=1$； $f(4)=(4-2{)}^2=4$。 $0<1<4⟹f(2)<f(1)<f(4)$，直接锁定 A。
3. 避坑指南：容易把开口方向记反，或者误认为自变量数值越大函数值就越大。务必先通过二次项系数正负确定开口向上，再运用对称轴轴距来精确判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二次函数板块的高频常考基础题。直接取材于初高中有理函数衔接中关于“二次函数对称性与图象性质”的课后基础训练题。
2. 结论推广：
   • 一般地，若函数满足 $f(m+t)=f(m-t)$ 或 $f(t)=f(2m-t)$，则该函数图象恒关于直线 $x=m$ 对称。
   • 当二次函数开口向上 ($a>0$) 时， $|x_1-m|<|x_2-m|⟺f(x_1)<f(x_2)$；当开口向下 ($a<0$) 时，结论恰好相反。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-01 填-二次函数的最小值

• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值

• 1994-上海理-09 填-二次函数的最值（仓库容积）