1992-全国卷理-14 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间直角坐标系。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$ 和 $N$ 分别为 $A_1{B}_1$ 和 $B{B}_1$ 的中点，那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间坐标系：以 $D$ 为原点， $DA$ 轴为 $x$ 轴， $DC$ 轴为 $y$ 轴， $D{D}_1$ 轴为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 确定关键点坐标：根据正方体棱长为 1 且 $M,N$ 为中点，写出点 $A,M,C,N$ 的空间坐标。
3. 计算方向向量及夹角：求出向量 $\overrightarrow{AM}$ 和 $\overrightarrow{CN}$ 的坐标表示，代入向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{AM}|\cdot |\overrightarrow{CN}|}$ 计算其余弦值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

由于正方体的棱长为 1，结合图形可确定各关键点的坐标为：

• $A(1,0,0)$
• $C(0,1,0)$
• $B_1(1,1,1)$， $A_1(1,0,1)$。因为 $M$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，其坐标为 $M\left(1,\frac{1}{2},1\right)$。
• $B(1,1,0)$。因为 $N$ 是 $B{B}_1$ 的中点，其坐标为 $N\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$。

分别计算直线 $AM$ 和 $CN$ 的方向向量： $\overrightarrow{AM}=\left(1-1,\frac{1}{2}-0,1-0\right)=\left(0,\frac{1}{2},1\right)$ $\overrightarrow{CN}=\left(1-0,1-1,\frac{1}{2}-0\right)=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$

计算这两个向量的数量积（点积）： $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=0\times 1+\frac{1}{2}\times 0+1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

分别计算这两个向量的模（长度）： $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{0^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ $|\overrightarrow{CN}=\sqrt{1^2+0^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

设异面直线 $AM$ 与 $CN$ 所成的角为 $\theta$（$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$），则其余弦值为： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{AM}|\cdot |\overrightarrow{CN}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的代数计算，空间直角坐标系的构筑。
2. 核心方法：空间向量法。利用坐标表示空间线段，将生硬的空间角度关系化归为基础的代数算术运算。
3. 避坑指南：
   • 找中点坐标时务必看清是哪条棱。例如把 $M$ 错看成 $AB$ 的中点将导致满盘皆输。
   • 牢记异面直线所成角的取值范围是 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，通过向量法计算时分子必须加绝对值号，确保余弦值为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中“异面直线所成角”的绝对经典考题。直接源于教材中关于“空间向量在立体几何中的应用”章节的典型示范大题。
2. 结论推广：若不用坐标法，可采用平移法（几何法）：取 $AB$ 的中点 $P$，连接 $D_{1}P$ 或在对应平面作平行线，将 $CN$ 平移到与 $AM$ 相交的平面内，构造出平面三角形后利用余弦定理求解，所得结果与向量坐标法完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角

• 1995-全国卷文-10 单-正方体中异面直线所成的角

• 1993-上海-18 单-异面直线的位置关系命题