1992-全国卷理-12 单-三角不等式的解

本题导读

本题考查三角不等式的解法，以及反三角函数的定义与性质。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 若 $0<a<1$，在 $[0,2\pi ]$ 上满足 $\sin x\ge a$ 的 $x$ 的范围是 ()

A. $[0,\arcsin a]$　　　　B. $[\arcsin a,\pi -\arcsin a]$　　　　C. $[\pi -\arcsin a,\pi ]$　　　　D. $\left[\arcsin a,\frac{\pi }{2}+\arcsin a\right]$

🔍【思路分析】

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1. 数形结合直观分析：在平面直角坐标系中画出 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的图象，并作水平直线 $y=a$（其中 $0<a<1$）。
2. 寻找交点边界：直线 $y=a$ 与正弦曲线在 $[0,2\pi ]$ 内有两个交点，分别位于第一、第二象限。
   • 第一象限的交点横坐标根据反正弦定义直接为 $x_1=\arcsin a$；
   • 根据正弦曲线关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称的几何性质，第二象限的交点横坐标为 $x_2=\pi -\arcsin a$。
3. 确定不等式解集：满足 $\sin x\ge a$ 对应正弦图象落在直线 $y=a$ 上方（含交点）的部分，其自变量 $x$ 的区间即为 $[x_1,x_2]$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 由反三角函数的定义，由于 $0<a<1$，在第一象限内满足 $\sin x=a$ 的唯一锐角 $x$ 记为： $x_1=\arcsin a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$

再根据正弦函数的诱导公式 $\sin (\pi -x)=\sin x$，在第二象限内同样满足 $\sin x=a$ 的钝角可表示为： $x_2=\pi -\arcsin a\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$

在区间 $[0,2\pi ]$ 上，结合 $y=\sin x$ 的图象可知：

• 当 $0\le x<\arcsin a$ 时， $0\le \sin x<a$；
• 当 $\arcsin a\le x\le \pi -\arcsin a$ 时， $\sin x\ge a$；
• 当 $\pi -\arcsin a<x\le 2\pi$ 时， $\sin x<a$（包含在第三、四象限为负值的情况）。

因此，满足 $\sin x\ge a$ 的 $x$ 的取值范围（闭区间）为： $[\arcsin a,\pi -\arcsin a]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简单三角不等式的解法，反正弦函数 $\arcsin a$ 的主值范围 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 的应用。
2. 核心方法：数形结合法（或单位圆中的正弦线比较法）。
3. 避坑指南：容易由于模糊记得对称性而错选 D。牢记正弦函数图象关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称，若左边界为 $\arcsin a$，则右边界必定是与 $\arcsin a$ 之和等于 $\pi$ 的角，即 $\pi -\arcsin a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数与反三角函数交汇的基础概念题。直接取材于高中数学关于“三角不等式的解法”与“反正弦函数引入”章节的课后标准练习题。
2. 结论推广：对于形如 $\sin x\ge a$ ($0<a<1$) 的不等式在整个实数集 $\mathbf{R}$ 上的通解集合，利用周期性可一般化推广推广为： $[2k\pi +\arcsin a,2k\pi +\pi -\arcsin a](k\in \mathbf{Z})$ 本题即为 $k=0$ 时的特殊情况。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.07 常见三角不等式

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-11 单-三角不等式与集合交集

• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间

• 1999-上海文-07 填-三角函数的单调递减区间