1992-全国卷理-04 单-三角方程的求解

本题导读

本题考查两角和的正弦公式，以及三角方程的解法。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 方程 $\sin 4x\cos 5x=-\cos 4x\sin 5x$ 的一个解是 ()

A. 10°　　　　　　　　B. 20°　　　　　　　　C. 50°　　　　　　　　D. 70°

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程移项：将方程右侧的项移至左侧，使等式右侧归零，得到 $\sin 4x\cos 5x+\cos 4x\sin 5x=0$。
2. 两角和公式合成：识别出左侧符合两角和的正弦公式结构 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$，从而将其合并为 $\sin (4x+5x)=0$。
3. 求解角度：由 $\sin 9x=0$ 求出 $9x$ 的通解，进而得到 $x$ 的通解表达式，并与选项中的特值进行比对。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 将原方程进行移项变形： $\sin 4x\cos 5x+\cos 4x\sin 5x=0$

根据两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$，将左端合并为一个单一的正弦项： $\sin (4x+5x)=0⟹\sin 9x=0$

根据正弦函数的性质，当正弦值为 0 时，其对应角为 $k\cdot 180^{\circ }$ ($k\in \mathbf{Z}$)，即： $9x=k\cdot 180^{\circ }(k\in \mathbf{Z})$

两边同除以 9，得方程的解的通式为： $x=k\cdot 20^{\circ }(k\in \mathbf{Z})$

• 当 $k=1$ 时， $x=20^{\circ }$，对应选项 B。
• 当 $k=0,2,3$ 时，相应的解分别为 0°, 40°, 60° 等，均不在选项中。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦公式的正向运用，基础三角方程 $\sin \theta =0$ 的通解。
2. 核心方法：公式合成法。
3. 避坑指南：
   • 提取角时注意不要遗漏公式中的加号，若误记为两角差公式将错算为 $\sin (5x-4x)=0⟹\sin x=0$，从而误选 A（180°的倍数，但 10° 不是）。
   • 特值代入法技巧）：作为单选题，可以直接将选项中的角度代入原方程。如代入 20°：左边 $=\sin 80^{\circ }\cos 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }(-\cos 80^{\circ })=-\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }$；右边 $=-\cos 80^{\circ }\sin 100^{\circ }=-\cos 80^{\circ }\sin 80^{\circ }$。左边等于右边，可以直接锁定 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角方程板块的基础概念题。取材于高一数学必修中“和差化积”与“两角和与差的三角公式”一章的课后基本变换习题。
2. 结论推广：对于形如 $\sin (ax)\cos (bx)+\cos (ax)\sin (bx)=0$ 的方程，其通解公式恒为 $x=\frac{k\pi }{a+b}$（或 $x=\frac{k\cdot 180^{\circ }}{a+b}$）。本题中 $a=4,b=5$，直接代入得 $x=k\cdot 20^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-11 单-三角不等式与集合交集

• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间

• 1996-上海文-02 单-正弦函数的单调区间