1992-全国文-27 解-三角形的坐标求解

本题导读

本题考查三角形中高线与角平分线的方程应用。核心在于利用垂直与对称求顶点坐标。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$BC$ 边上的高所在直线的方程为 $x-2y+1=0$，$\angle A$ 的平分线所在直线的方程为 $y=0$，若点 $B$ 的坐标为 $(1,2)$，求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

$A$ 在高线与角平分线上：$x-2y+1=0$ 且 $y=0$ 得 $A(-1,0)$；$B$ 关于 $y=0$ 的对称点 $(1,-2)$ 在直线 $AC$ 上，与 $A$ 联立得 $AC$ 方程，$C$ 还在高线过 $B$ 的垂线上…… 结合 $BC\perp$ 高线求 $C(5,-6)$。

✅【答案】

Success

$A(-1,0)$，$C(5,-6)$

✍【详细解析】

Abstract

$A$ 是高线与角平分线的交点：$x-2y+1=0$ 且 $y=0$，得 $A(-1,0)$。角平分线为 $x$ 轴，$B(1,2)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B\prime (1,-2)$ 必在直线 $AC$ 上。直线 $AB\prime$ 过 $(-1,0)$ 与 $(1,-2)$：$y=-(x+1)$，即 $x+y+1=0$，这就是直线 $AC$。又高线 $x-2y+1=0$ 过 $A$ 且垂直于 $BC$，直线 $BC$ 过 $B(1,2)$ 且斜率为 $-2$（高线斜率 $\frac{1}{2}$ 的负倒数）：$y-2=-2(x-1)$，即 $2x+y-4=0$。$C$ 是 $AC$ 与 $BC$ 的交点：$x+y+1=0$ 与 $2x+y-4=0$ 联立，$x=5$，$y=-6$。故 $C(5,-6)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形的坐标求解

核心方法：由高、角平分线方程与 $B(1,2)$ 求 $A(-1,0)$、$C(5,-6)$

避坑指南：高过 $B$、角平分线定 $A$，再定 $C$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解析几何

结论推广：高、角平分线方程定顶点

方法推广：几何条件转代数方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1993-上海-09 填-极坐标中平行于极轴的直线
• 1999-全国卷文-24 解-角平分线的轨迹方程
• 1996-全国卷文-01 单-集合的交集与补集