1992-全国文-25 解-复数方程与模

本题导读

本题考查复数方程的求解。核心在于设 $z=x+yi$ 后由复数相等的充要条件建立方程组。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 已知 $z\in \mathbf{C}$，解方程：$z-2|z|=-7+4i$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $z=x+yi$，则 $x+yi-2\sqrt{x^2+y^2}=-7+4i$，得 $y=4$、$x-2\sqrt{x^2+16}=-7$，解得 $x=3$ 或 $x=\frac{5}{3}$。

✅【答案】

Success

$z=3+4i$ 或 $z=\frac{5}{3}+4i$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+yi$（$x,y\in \mathbf{R}$），方程即 $x+yi-2\sqrt{x^2+y^2}=-7+4i$。由虚部相等得 $y=4$；由实部相等得 $x-2\sqrt{x^2+16}=-7$，即 $2\sqrt{x^2+16}=x+7$，平方：$4(x^2+16)=x^2+14x+49$，$3x^2-14x+15=0$，$(3x-5)(x-3)=0$，$x=3$ 或 $x=\frac{5}{3}$。检验：$x=3$ 时 $2\sqrt{25}=10=3+7$ 成立；$x=\frac{5}{3}$ 时 $2\sqrt{\frac{25}{9}+16}=\frac{26}{3}=\frac{5}{3}+7$ 成立。故 $z=3+4i$ 或 $z=\frac{5}{3}+4i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程与模

核心方法：设 $z=x+yi$，$z-2|z|=-7+4i$，$x-2\sqrt{x^2+y^2}=-7,y=4$，得 $z=3+4i$ 或 $\frac{5}{3}+4i$

避坑指南：实虚部分别相等解方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数方程

结论推广：实虚部分别相等

方法推广：复数相等的充要条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-上海-22 解-复数的运算与模
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值