1992-全国文-23 填-双曲线的方程

本题导读

本题考查双曲线的方程，以及由焦点与离心率确定参数。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 焦点为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(6,0)$，离心率为 $2$ 的双曲线的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

中心 $(2,0)$，$c=4$，$e=2$ 得 $a=2$，$b^2=12$，$\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。

✅【答案】

Success

$\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $F_1(-2,0)$、$F_2(6,0)$ 关于中心对称，中心 $(2,0)$，焦距 $2c=8$，$c=4$。离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，故 $a=2$，$b^2=c^2-a^2=16-4=12$。焦点在 $x$ 轴方向的平行线上，方程为 $\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程

核心方法：$c=4$、$e=2$ 得 $a=2$、$b^2=12$，中心 $(2,0)$，$\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

避坑指南：由焦点定中心、离心率定 $a,b$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于双曲线方程

结论推广：焦点定中心、$e$ 定 $a,b$

方法推广：$c^2=a^2+b^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-02 单-双曲线的离心率与准线
• 1993-旧高考文-01 单-双曲线的离心率
• 1994-上海-07 填-双曲线的焦点坐标