1992-全国文-15 单-复数模的最值

本题导读

本题考查复数模的最值，以及模的几何意义。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 已知复数 $z$ 的模为 $2$，则 $|z-i|$ 的最大值为 ()

A. 1　　　　　　　　　B. 2　　　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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$z$ 在半径 2 的圆上，$|z-i|$ 是 $z$ 到 $i$ 的距离，最大 $=2+1=3$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$|z|=2$ 表示 $z$ 在以原点为圆心、半径 $2$ 的圆上。$|z-i|$ 是 $z$ 到点 $i$（即 $(0,1)$）的距离，该点到圆心的距离为 $1$。最大距离为圆心距加半径 $1+2=3$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的最值

核心方法：$|z|=2$，$|z-i|$ 最大 $=2+1=3$

避坑指南：圆上点到点距离最大为圆心距加半径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数模的几何意义

结论推广：$|z-z_0|$ 是两点距离

方法推广：圆上点到点距离最大=圆心距加半径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-上海-22 解-复数的运算与模
• 1994-全国卷文-09 单-复数模的几何意义
• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角