1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限

本题导读

本题考查裂项相消求和与数列极限，以及分式拆项的方法。

📌【题干】

Question

（1992年三南） $\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\cdots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\right]=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})$，前 $n$ 项和 $\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3n+1})$，极限 $\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

对任意正整数 $k$，$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$。故前 $n$ 项和为 $\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right)$，令 $n\to \infty$ 得极限 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：裂项相消与数列极限

核心方法：$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})$，极限 $\frac{1}{3}$

避坑指南：裂项相消

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：裂项相消求数列极限

结论推广：$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ 裂为两项差

方法推广：裂项相消

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-17 解-等差数列与裂项极限
• 2001-新课标卷文-17 解-等差数列与裂项极限
• 2005-湖南卷文-16 解-对数等差数列与裂项放缩