1977-浙江-03 解-裂项求和

本题导读

本题考查裂项相消求和。核心在于 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 后首尾留差。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 计算：$\frac{1}{100\times 101}+\frac{1}{101\times 102}+\frac{1}{102\times 103}+\cdots +\frac{1}{149\times 150}$.

🔍【思路分析】

破题导航

每项裂为 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，中间全部相消，只剩 $\frac{1}{100}-\frac{1}{150}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{300}$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)+\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{102}\right)+\left(\frac{1}{102}-\frac{1}{103}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{149}-\frac{1}{150}\right)=\frac{1}{100}-\frac{1}{150}=\frac{150-100}{15000}=\frac{1}{300}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：裂项求和

核心方法：裂项相消

避坑指南：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，首尾留差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求和

结论推广：$\frac{1}{300}$

方法推广：裂项相消

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限