1991-全国卷理-26 解-双曲线的方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系（联立方程组）。核心在于设而不求法（韦达定理整体代换）、方程组转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 双曲线的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，过双曲线右焦点且斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线交双曲线于 $P$、$Q$ 两点.若 $OP\perp OQ$，$|PQ|=4$，求双曲线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设方程：由题意，双曲线焦点在 $x$ 轴上，可设其标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。设右焦点为 $F(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 直线的参数化：直线过点 $F(c,0)$ 且斜率 $k=\sqrt{\frac{3}{5}}$，其方程为 $y=\sqrt{\frac{3}{5}}(x-c)$。
3. 联立方程组与韦达定理：将直线方程代入双曲线方程，整理得到关于 $x$ 的一元二次方程，写出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$ 的表达式。
4. 转化垂直条件：由 $OP\perp OQ⟹\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0⟹x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。将 $y_1{y}_2$ 用直线方程转化为关于 $x_1,x_2$ 的代数式，从而得到关于 $a,b,c$ 的第一个基本关系。
5. 转化弦长条件：利用弦长公式 $|PQ|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=4$，结合韦达定理转化为关于 $a,b,c$ 的第二个基本关系。
6. 合流求解：联立上述关系及 $c^2=a^2+b^2$，解出 $a^2$ 和 $b^2$。

✅【答案】

Success

$x^2-3y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设定方程与联立化简 设双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 其右焦点为 $F(c,0)$，其中 $c^2=a^2+b^2$。

过右焦点 $F(c,0)$ 且斜率为 $k=\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线 $l$ 的方程为： $y=\sqrt{\frac{3}{5}}(x-c)$

将直线方程两边平方，得 $y^2=\frac{3}{5}(x-c{)}^2$，将其代入双曲线方程中以消去 $y$： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{\frac{3}{5}(x-c{)}^2}{b^2}=1$

两边同乘以 $5a^2{b}^2$ 去分母： $5b^2{x}^2-3a^2(x-c{)}^2=5a^2{b}^2$ $5b^2{x}^2-3a^2(x^2-2cx+c^2)=5a^2{b}^2$ $(5b^2-3a^2)x^2+6a^{2}cx-3a^2{c}^2-5a^2{b}^2=0$

设 $P(x_1,y_1)$， $Q(x_2,y_2)$ 为直线与双曲线的两个交点。根据一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）得： x_1 + x_2 = \frac{-6a^2c}{5b^2 - 3a^2} \tag{1} x_1x_2 = \frac{-3a^2c^2 - 5a^2b^2}{5b^2 - 3a^2} \tag{2}

同时，根据判别式 $\Delta >0$ 且直线与双曲线两支均相交或同支相交，此处先不展开，直接进入几何条件的代数转化。

第二步：利用垂直条件 $OP\perp OQ$ 建立方程 因为 $OP\perp OQ$，所以向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{OQ}$ 的数量积为 0： $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

由于 $P,Q$ 在直线 $y=\sqrt{\frac{3}{5}}(x-c)$ 上，我们可以表示出 $y_1{y}_2$： $y_1{y}_2=\left[\sqrt{\frac{3}{5}}(x_1-c)\right]\cdot \left[\sqrt{\frac{3}{5}}(x_2-c)\right]=\frac{3}{5}[x_1{x}_2-c(x_1+x_2)+c^2]$

将 $y_1{y}_2$ 代入垂直条件式： $x_1{x}_2+\frac{3}{5}[x_1{x}_2-c(x_1+x_2)+c^2]=0$ 两边同乘以 5 整理得： 8x_1x_2 - 3c(x_1 + x_2) + 3c^2 = 0 \tag{3}

将韦达定理的 (1) 式和 (2) 式代入 (3) 式中： $8\cdot \left(\frac{-3a^2{c}^2-5a^2{b}^2}{5b^2-3a^2}\right)-3c\cdot \left(\frac{-6a^{2}c}{5b^2-3a^2}\right)+3c^2=0$

由于 $5b^2-3a^2\ne 0$，两边同乘以 $(5b^2-3a^2)$： $8(-3a^2{c}^2-5a^2{b}^2)-3c(-6a^{2}c)+3c^2(5b^2-3a^2)=0$ $-24a^2{c}^2-40a^2{b}^2+18a^2{c}^2+15b^2{c}^2-9a^2{c}^2=0$ $-15a^2{c}^2-40a^2{b}^2+15b^2{c}^2=0$

两边同除以 5 简化： $-3a^2{c}^2-8a^2{b}^2+3b^2{c}^2=0$

将 $c^2=a^2+b^2$ 代入上式中以统一换元： $-3a^2(a^2+b^2)-8a^2{b}^2+3b^2(a^2+b^2)=0$ $-3a^4-3a^2{b}^2-8a^2{b}^2+3a^2{b}^2+3b^4=0$ $-3a^4-8a^2{b}^2+3b^4=0$

我们可以把这个看作是关于 $a^2$ 和 $b^2$ 的二次齐次方程，对其进行因式分解（十字相乘法）： $(3b^2-a^2)(b^2+3a^2)=0$

因为 $a>0,b>0$，所以 $b^2+3a^2>0$ 恒成立。 因此必须满足： 3b^2 - a^2 = 0 \implies a^2 = 3b^2 \tag{4}

利用这一美妙的比例关系，我们可以极大地简化前面的韦达定理与 $c^2$ 的表示。 将 $a^2=3b^2$ 代入 $c^2=a^2+b^2$ 得： $c^2=3b^2+b^2=4b^2⟹c=2b$

将 $a^2=3b^2$ 和 $c=2b$ 代入一元二次方程中重新审视根的乘积与和： 分母： $5b^2-3a^2=5b^2-3(3b^2)=-4b^2$

• $x_1+x_2=\frac{-6(3b^2)(2b)}{-4b^2}=\frac{-36b^3}{-4b^2}=9b$
• $x_1{x}_2=\frac{-3(3b^2)(4b^2)-5(3b^2)b^2}{-4b^2}=\frac{-36b^4-15b^4}{-4b^2}=\frac{-51b^4}{-4b^2}=\frac{51}{4}{b}^2$

第三步：利用弦长条件 $|PQ|=4$ 求解参数 根据直线与圆锥曲线截得的弦长公式： $|PQ|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

已知 $k=\sqrt{\frac{3}{5}}⟹k^2=\frac{3}{5}$，所以 $\sqrt{1+k^2}=\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$。 将已知弦长 $|PQ|=4$ 以及刚刚求得的关于 $b$ 的代数式代入： $4=\sqrt{\frac{8}{5}}\cdot \sqrt{(9b{)}^2-4\cdot \left(\frac{51}{4}{b}^2\right)}$

两边平方： $16=\frac{8}{5}\cdot \left(81b^2-51b^2\right)$ $16=\frac{8}{5}\cdot 30b^2$ $16=8\cdot 6b^2⟹16=48b^2$

由此解得： $b^2=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}$

进而根据 (4) 式 $a^2=3b^2$ 可求得： $a^2=3\times \frac{1}{3}=1$

第四步：写出双曲线方程 将求得的 $a^2=1$ 和 $b^2=\frac{1}{3}$ 代入标准方程中： $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1⟹x^2-3y^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：联立直线与双曲线方程、韦达定理的代数变形应用、向量垂直的坐标条件、弦长公式的精确计算。
2. 核心方法：“设而不求”法。将 $P,Q$ 两点的横纵坐标两两组合的关系通过整体代换转化为方程系数的关系，避免了解出具体的交点坐标。
3. 避坑指南：
   • 联立后化简一元二次方程时容易发生符号和系数错误（如 $5b^2-3a^2$ 容易漏掉乘项）。
   • 在将 $y_1{y}_2$ 用 $x_1,x_2$ 表示时，注意展开式中的交叉项 $-c(x_1+x_2)$ 的符号，此处是绝大多数考生的易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于经典的解析几何大题模型（焦点弦与垂直交点性质），是现今高考解析几何题目的经典模型。
2. 结论推广技巧）：对于椭圆或双曲线，过焦点且满足两交点对原点张角为直角（即 $OP\perp OQ$）的直线，其余几何参数与斜率之间存在着妙的隐性几何不变量关系。掌握了本题中形如 $a^2=3b^2$ 的比例关系，在面对客观选择填空题时可以实现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-23 填-双曲线的方程
• 1992-全国卷理-22 填-双曲线的方程与离心率
• 1992-三南-17 单-双曲线的准线距离