1991-全国卷理-21 解-三角函数的化简与最值

本题导读

本题考查三角函数的降幂公式、三角函数的二倍角公式。核心在于三角恒等变换法、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 求函数 $y={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$ 的最小值，并写出使函数 $y$ 取最小值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂与倍角化简：利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 以及倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，将原函数中二次项降为一次项。
2. 辅助角公式合成：将含有 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的项利用辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$ 合并为单一的正弦型函数。
3. 求最值与解集：根据正弦函数的性质，当整体角对应的正弦值为 $-1$ 时函数取得最小值，以此建立方程求出 $x$ 的集合。

✅【答案】

Success

最小值 $2-\sqrt{2}$，此时 $x\in \left\{x|x=k\pi -\frac{3\pi }{8},k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

利用三角公式对原函数进行恒等变形： $y={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$ $y=\frac{1-\cos 2x}{2}+\sin 2x+3\times \frac{1+\cos 2x}{2}$ $y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\sin 2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos 2x$ $y=\sin 2x+\cos 2x+2$

利用辅助角公式进行化简合并： $y=\sqrt{1^2+1^2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+2$ $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+2$

根据正弦函数的性质，当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 时，函数 $y$ 取得最小值。 此时最小值为： $y_{\min }=\sqrt{2}\times (-1)+2=2-\sqrt{2}$

要求使函数取得最小值的 $x$ 的集合，令： $2x+\frac{\pi }{4}=2k\pi -\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

移项得： $2x=2k\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}$ $2x=2k\pi -\frac{3\pi }{4}$

两边同除以 2 得： $x=k\pi -\frac{3\pi }{8}(k\in \mathbf{Z})$

所以，使函数 $y$ 取最小值的 $x$ 的集合为： $\left\{x|x=k\pi -\frac{3\pi }{8},k\in \mathbf{Z}\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的“倍角降幂”综合变形，以及 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的最值判定。
2. 核心方法：一“化”（化为单一名、单一次数、单一角的形式），二“求”（利用复合函数的单调性与最值范围求解）。
3. 避坑指南：
   • 降幂时容易在 $\cos 2x$ 前面的符号（正弦降幂带负号，余弦降幂带正号）上出现笔误。
   • 题目显式要求写出“$x$ 的集合”，最终结论必须采用集合表示法 $\left\{x|\dots \right\}$，若仅写出等式 $x=k\pi -\frac{3\pi }{8},k\in \mathbf{Z}$ 属于格式不规范，会面临扣分。同时注意不要漏掉 $k\in \mathbf{Z}$ 的限制条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数板块的标准中档大题，源于教材中关于“二次齐次式的化简与三角函数最值”的典型例题，主要考查考生的恒等变形基本功。
2. 结论推广：对于形如 $y=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$ 的二次齐次函数，通常可以通用化简为 $y=\frac{b}{2}\sin 2x+\frac{c-a}{2}\cos 2x+\frac{a+c}{2}$。其最值的统一解析表达式为 $\frac{a+c}{2}\pm \frac{\sqrt{b^2+(c-a{)}^2}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1992-全国卷理-25 解-两角和差公式求值