1991-全国卷理-18 填-棱台的体积

本题导读

本题考查正三棱台的几何性质，以及线面角（侧棱与底面所成的角）。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 已知正三棱台上有底面边长为 2，下底面边长为 4，且侧棱与底面所成的角是 45°，那么这个正三棱台的体积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求上下底面面积：利用正三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，分别算出上底面面积 $S^{\prime }$ 和下底面面积 $S$。
2. 求高的关键几何量：设上、下底面的中心（外心）分别为 $O_1$ 和 $O$。连接侧棱端点与中心，分别求出上底面外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 和下底面外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 4=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
3. 求棱台的高：通过作高构造直角梯形。侧棱在下底面的射影长度为 $R-r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。由于侧棱与底面成 45° 角，在直角三角形中，高 $h$ 等于该射影长，即 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
4. 计算体积：将 $S^{\prime }$、$S$ 和 $h$ 代入棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$ 进行计算。

✅【答案】

Success

$\frac{14}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

根据正三角形面积公式， 上底面面积为： $S^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$ 下底面面积为： $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2=4\sqrt{3}$

设正三棱台的上、下底面正三角形的中心分别为 $O_1$ 和 $O$，一条侧棱为 $A_{1}A$（其中 $A_1$ 在上底面，$A$ 在下底面）。 则 $O_{1}O$ 为棱台的高 $h$。 连接 $O_1{A}_1$ 和 $OA$，则 $OA$ 即为侧棱 $A_{1}A$ 在下底面上的射影，所以 $\angle A_{1}AO$ 为侧棱与底面所成的角，即 $\angle A_{1}AO=45^{\circ }$。

根据正三角形的外接圆半径公式： $O_1{A}_1=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $OA=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{4}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

过 $A_1$ 作 $A_{1}H\perp OA$ 于 $H$，则四边形 $O_1{O}_{1}H{A}_1$（应为 $O_{1}OH{A}_1$）为直角长方形。 所以： $OH=O_1{A}_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $AH=OA-OH=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

在 Rt$△A_{1}HA$ 中， $\angle A_{1}AH=45^{\circ }$，因此该三角形为等腰直角三角形： $h=A_{1}H=AH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

根据三棱台的体积公式： $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$ $V=\frac{1}{3}\times \frac{2\sqrt{3}}{3}\times \left(4\sqrt{3}+\sqrt{4\sqrt{3}\times \sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)$ $V=\frac{2\sqrt{3}}{9}\times \left(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}\times 7\sqrt{3}=\frac{14\times 3}{9}=\frac{14}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱台内各个几何量（上下底面边长、高、斜高、侧棱）之间的转化，以及线面角的应用。
2. 核心方法：截面法。通过包含高和侧棱的轴截面，将空间图形问题转化为平面平面直角梯形进行求解。
3. 避坑指南：
   • 容易将正三角形的“心距（内切圆半径）”与“外接圆半径”弄混，求侧棱相关的物理量时必须使用外接圆半径（顶点到中心的距离）。
   • 在计算体积公式的中间项 $\sqrt{S{S}^{\prime }}$ 时，注意代数化简的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中空间图形度量计算的传统经典题。直接源于立体几何教材中关于“棱台的性质与体积”一节的课后典型计算题。
2. 结论推广：若正三棱台的上、下底面边长分别为 $a,b$ ($b>a$)，侧棱与底面所成角为 $\theta$，则该正三棱台的高为 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}(b-a)\tan \theta$。其体积公式代入可推广为： $V=\frac{1}{12}(b^3-a^3)\tan \theta$ 本题中 $a=2,b=4,\theta =45^{\circ }$，代入推广公式得 $V=\frac{1}{12}(4^3-2^3)\times 1=\frac{56}{12}=\frac{14}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1992-上海-07 填-圆台的侧面积
• 1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积