1991-全国卷理-17 填-指数不等式的求解

本题导读

本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 不等式 $6^{x^2+x-2}<1$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：将不等式右侧的常数 1 写成以 6 为底的指数形式，即 $1=6^0$，从而使不等式两端底数一致。
2. 脱去底数：利用指数函数 $y=6^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的性质，将原不等式转化为关于指数部分的不等式：$x^2+x-2<0$。
3. 求解二次不等式：通过十字相乘法将二次三项式因式分解，利用“小于取中间”的规律求出 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

$-2<x<1$

✍【详细解析】

Abstract

将原不等式右侧的 1 化为以 6 为底的幂： $6^{x^2+x-2}<6^0$

因为底数 $6>1$，指数函数 $y=6^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递增函数， 所以由两边幂的大小关系可直接导得指数的大小关系： $x^2+x-2<0$

利用十字相乘法对左边进行因式分解： $(x+2)(x-1)<0$

解得此一元二次不等式的解集为： $-2<x<1$

用区间或集合形式表示即为 $(-2,1)$ 或 $\{x|-2<x<1\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数不等式向整式不等式的转化，一元二次不等式的标准解法。
2. 核心方法：化同底法。
3. 避坑指南：在脱去底数时，必须先看清底数与 1 的大小关系。若底数大于 1，不等号方向不变；若底数大于 0 且小于 1（如 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^t$），脱去底数时不等号方向必须改变。本题底数为 6，故方向保持不变。此外，填空题要求写“解集”，答案必须写成集合或区间形式，若只写 $-2<x<1$ 可能会被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于基本代数不等式运算题，直接源于高一数学必修中“指数函数”与“一元二次不等式”两节的课后基础练习题。
2. 结论推广：对于形如 $a^{f(x)}<1$ ($a>0,a\ne 1$) 的不等式：
   • 当 $a>1$ 时，等价于 $f(x)<0$；
   • 当 $0<a<1$ 时，等价于 $f(x)>0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数