1991-全国卷理-16 填-反三角函数的和

本题导读

本题考查反三角函数的定义与概念，以及两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2}$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设元转化：令 $\alpha =\arctan \frac{1}{3}$，$\beta =\arctan \frac{1}{2}$。根据反正切函数的性质，明确 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且 $\tan \alpha =\frac{1}{3},\tan \beta =\frac{1}{2}$。目标为求 $\alpha +\beta$ 的值。
2. 公式计算：利用两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ 求出其正切值。
3. 范围估算：由 $\tan \alpha ,\tan \beta$ 均小于 $\tan \frac{\pi }{4}=1$，估算出 $\alpha +\beta$ 的确切范围，从而在多个同正切值的角中锁定唯一解。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $\alpha =\arctan \frac{1}{3}$，$\beta =\arctan \frac{1}{2}$。 由反正切函数的定义可知： $\tan \alpha =\frac{1}{3},\tan \beta =\frac{1}{2}$

因为 $0<\frac{1}{3}<1$， $0<\frac{1}{2}<1$，且反正切函数在区间 $(0,1)$ 上对应的角在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 内， 所以： $0<\alpha <\frac{\pi }{4},0<\beta <\frac{\pi }{4}⟹0<\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$

计算 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$

在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，正切值等于 1 的角有且仅有 $\frac{\pi }{4}$。 因此： $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$

即 $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反三角函数性质、两角和的正切公式。
2. 核心方法：构造正切法。通过两边取 $\tan$ 将反三角问题转化为熟悉的三角函数运算。
3. 避坑指南：不宜遗漏对角范围的判定。因为正切函数是周期函数，满足 $\tan \theta =1$ 的角有无数个（如 $\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ ）。必须通过已知条件限制 $\alpha ,\beta$ 分别小于 $\frac{\pi }{4}$，从而确定和的范围在第一象限内，才能保证答案唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于反三角函数部分的经典基础计算题，源于高三选修教材中关于“反三角函数的性质与多角和”的例题。
2. 结论推广：本题可推广为更广泛的格里高利公式（Gregory’s formula）变形或梅钦类公式（Machin-like formula）的基础形式。一般地，当 $xy<1$ 且 $x,y>0$ 时，有通用公式： $\arctan x+\arctan y=\arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ 代入 $x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2}$ 得 $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1992-上海-18 单-反三角函数的值域
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数