1991-全国卷理-12 单-数列极限的求解

本题导读

本题考查数列的通项与积的化简，以及裂项相消（乘积型消项）。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right]$ 的值等于 ()

A. 0　　　　　　　　　B. 1　　　　　　　　　C. 2　　　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通分化简：将中括号内各因式分别通分，转换为分数相乘的形式：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$\dots$，$1-\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}$。
2. 对消求通项：观察连乘积的特点，前一项的分母与后一项的分子可以两两约去。找出最终残留的项，与前面的因式 $n$ 重新组合。
3. 求极限：利用分式求极限的方法，计算当 $n\to \infty$ 时分式的极限值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先将中括号内的连乘积式子进行通分化简： $\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \cdots \times \frac{n+1}{n+2}$

观察上述连乘式可知，前一个分数的分母与后一个分数的分子完全相同，可以依次对消： 第一项的分母 3 与第二项的分子 3 约去； 第二项的分母 4 与第三项的分子 4 约去，依此类推； 直到倒数第二项的分母 $n+1$ 与最后一项的分子 $n+1$ 约去。

消项后，整个连乘积只剩下第一项的分子 $2$ 和最后一项的分母 $n+2$： $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \cdots \times \frac{n+1}{n+2}=\frac{2}{n+2}$

将化简结果代回原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\left[n\cdot \frac{2}{n+2}\right]={\lim }_{n\to \infty }\frac{2n}{n+2}$

分子分母同除以 $n$ 得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2}{1+\frac{2}{n}}=\frac{2}{1+0}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：乘积型数列通项的裂项对消与分式线性极限的求解。
2. 核心方法：通分法与消项法。
3. 避坑指南：在消项时应核对对应关系，不宜记反“剩分子”还是“剩分母”的位置。通常规律为：若前面剩下了分子，后面必然对应留下分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于数列极限板块的经典通项变形题，考查由有限项的规律推导无限项变化趋势的能力。
2. 结论推广：对于形如 ${\prod }_{i=1}^n\left(1-\frac{1}{i+k}\right)$ 的连乘型式子，通分后均可约项化简。本题可推广为一般公式： ${\lim }_{n\to \infty }\left[n\cdot {\prod }_{i=1}^n\left(1-\frac{1}{i+k}\right)\right]=k(k\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 本题中 $k=2$，故极限值直接为 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-06 单-分式数列的极限
• 1993-旧高考文-24 填-数列的极限
• 1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限