1991-全国卷理-08 单-圆锥曲线的极坐标方程

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\rho =\frac{16}{5-3\cos \theta }$，那么它的焦点的极坐标为 ()

A. $(0,0)$, $(6,\pi )$　　B. $(-3,0)$, $(3,0)$　　C. $(0,0)$, $(3,0)$　　D. $(0,0)$, $(6,0)$

🔍【思路分析】

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1. 去分母与坐标转换：将极坐标方程去分母变形为 $5\rho -3\rho \cos \theta =16$。利用直角坐标与极坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，将其转化为直角坐标方程。
2. 化为标准方程：通过移项、两边平方、配方，将方程整理为椭圆的标准方程，从而确定其中心、长半轴 $a$、短半轴 $b$ 以及半焦距 $c$。
3. 确定焦点位置并还原：在直角坐标系中写出两个焦点的坐标，最后将直角坐标转化为极坐标，与选项比对。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（坐标转换法）： 原方程为 $\rho =\frac{16}{5-3\cos \theta }$，去分母得： $5\rho -3\rho \cos \theta =16$

将 $\rho \cos \theta =x$ 代入上式： $5\rho -3x=16⟹5\rho =3x+16$

两边平方得： $25{\rho }^2=(3x+16{)}^2$

将 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 代入： $25(x^2+y^2)=9x^2+96x+256$ $16x^2-96x+25y^2=256$

配方整理： $16(x^2-6x+9)+25y^2=256+144$ $16(x-3{)}^2+25y^2=400$

两边同除以 400，得椭圆的标准方程： $\frac{(x-3{)}^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

由此可知，该椭圆的中心为 $(3,0)$，焦点在 $x$ 轴平行线上，且： $a^2=25⟹a=5$ $b^2=16⟹b=4$ $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$

所以，椭圆的两个焦点在直角坐标系下分别为： $F_1(3-3,0)=(0,0)$ $F_2(3+3,0)=(6,0)$

将直角坐标系下的焦点坐标 $(0,0)$ 和 $(6,0)$ 转换为极坐标 $(\rho ,\theta )$：

• 对于 $F_1(0,0)$，其极坐标为 $(0,0)$（或极点）；
• 对于 $F_2(6,0)$，点在极轴的正半轴上，距离为 6，极角为 0，其极坐标为 $(6,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标方程与直角坐标方程的等价转换，椭圆的标准方程及焦点坐标。
2. 核心方法：整体代换法与配方法。
3. 避坑指南：
   • 选项 B 给出的是直角坐标形式的陷阱，若误将直角坐标系下的中心当成原点，容易错选 B；
   • 注意极坐标的表示形式为 $(\rho ,\theta )$，极径 $\rho \ge 0$，不能为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线极坐标方程的标准考题，直接源于解析几何中“圆锥曲线的统一极坐标方程”这一传统拓展性质。
2. 结论推广：以圆锥曲线的一个焦点为极点，极轴指向对应的顶点的圆锥曲线统一极坐标方程为 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$（其中 $e$ 为离心率，$p$ 为焦点到准线的距离）。在本题中，方程变形为 $\rho =\frac{16/5}{1-\frac{3}{5}\cos \theta }$，可直接看出其中一个焦点必为极点 $(0,0)$，离心率 $e=\frac{3}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1992-三南-07 单-椭圆的极坐标方程
• 1992-全国卷理-03 单-圆的极坐标方程
• 1992-上海-19 单-极坐标中直线与圆