1991-全国卷理-06 单-三棱锥的线面角

本题导读

本题考查三垂线定理及其逆定理，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 如果三棱锥 $S-ABC$ 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 $S$ 在底面的射影 $O$ 在 $△ABC$ 内，那么 $O$ 是 $△ABC$ 的 ()

A. 垂心　　　　　　　B. 重心　　　　　　　C. 外心　　　　　　　D. 内心

🔍【思路分析】

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1. 作二面角的平面角：过顶点 $S$ 作底面的垂线，垂足为 $O$。过 $O$ 分别作底面三边 $AB$、$BC$、$AC$ 的垂线，垂足分别为 $D$、$E$、$F$。连接 $SD$、$SE$、$SF$。
2. 运用三垂线定理：由 $SO\perp$ 平面 $ABC$ 且 $OD\perp AB$，根据三垂线定理，得 $SD\perp AB$。故 $\angle SDO$ 即为侧面 $SAB$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的平面角。同理 $\angle SEO$、$\angle SFO$ 分别为另外两个侧面与底面所成二面角的平面角。
3. 寻找射影点几何特征：根据题意，这三个二面角相等，且 $SO$ 为公共直角边，易证三个直角三角形 $△SDO\cong △SEO\cong △SFO$。从而得到 $OD=OE=OF$，即射影点 $O$ 到 $△ABC$ 三边的距离相等。结合 $O$ 在 $△ABC$ 内部，可知 $O$ 为内心。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

如图所示，作 $SO\perp$ 平面 $ABC$ 于点 $O$。 过点 $O$ 作 $OD\perp AB$ 于 $D$， $OE\perp BC$ 于 $E$， $OF\perp AC$ 于 $F$。连接 $SD$、$SE$、$SF$。

因为 $SO\perp$ 平面 $ABC$， $OD\perp AB$， $OD\subset$ 平面 $ABC$， 根据三垂线定理，可得 $SD\perp AB$。 所以 $\angle SDO$ 是侧面 $SAB$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的平面角。 同理可得，$\angle SEO$ 是侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的平面角，$\angle SFO$ 是侧面 $SAC$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的平面角。

由题意，侧面与底面所成的二面角都相等，即： $\angle SDO=\angle SEO=\angle SFO$

在 Rt$△SDO$、Rt$△SEO$ 和 Rt$△SFO$ 中，由于直角边 $SO$ 为公共边，且它们的对角相等， 所以： $\text{Rt}△SDO\cong \text{Rt}△SEO\cong \text{Rt}△SFO$

根据全等三角形的性质，对应直角边相等： $OD=OE=OF$

这表明顶点 $S$ 在底面上的射影 $O$ 到底面三角形三边的距离相等。 又因为点 $O$ 在 $△ABC$ 内部，所以点 $O$ 是 $△ABC$ 的角平分线的交点，即内心。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：棱锥的斜高、高与其在底面射影之间的转化关系。
2. 核心方法：利用三垂线定理准确作出二面角的平面角，将空间垂直关系转化为平面直角三角形的性质进行定量或定性分析。
3. 避坑指南：熟记三棱锥顶点在底面射影的常用结论：
   • 若侧棱与底面所成角相等 $⟹$ 射影为外心；
   • 若侧面与底面所成角相等（且射影在内部） $⟹$ 射影为内心；
   • 若侧棱长相等 $⟹$ 射影为外心；
   • 若顶点到对棱的距离相等（侧棱两两垂直） $⟹$ 射影为垂心。 容易将“侧面所成角”与“侧棱所成角”混淆导致误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中关于“多面体与三棱锥性质”的经典概念结论题，源于教材中对三垂线定理及二面角应用的综合拓展探究。
2. 结论推广：若三棱锥的顶点在底面上的射影在底面三角形的外部（或闭包上），且侧面与底面所成的二面角（或其补角）相等，则该射影点 $O$ 为底面三角形的旁心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-14 单-异面直线所成的角
• 1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角
• 1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角