1991-全国卷理-05 单-正弦型函数的对称轴

本题导读

本题考查正弦函数的图象与性质，以及三角函数的对称性。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 函数 $y=\sin \left(2x+\frac{5\pi }{2}\right)$ 的图象的一条对称轴的方程是 ()

A. $x=-\frac{\pi }{2}$　　　　　　B. $x=-\frac{\pi }{4}$　　　　　　C. $x=\frac{\pi }{8}$　　　　　　D. $x=\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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1. 性质转化：正弦函数 $y=\sin t$ 的图象在取得最大值或最小值时对应的直线为对称轴。因此，当 $2x+\frac{5\pi }{2}=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$) 时，其图象关于该直线对称。
2. 诱导公式化简（备选）：亦可先利用诱导公式将原式化简，再寻找余弦函数的对称轴（即函数值为 $\pm 1$ 处）。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解法一（整体代换法）： 令 $2x+\frac{5\pi }{2}=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 移项得： $2x=k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{2}=k\pi -2\pi$ 两边同除以 2 得对称轴方程通式： $x=\frac{k\pi }{2}-\pi (k\in \mathbf{Z})$

当 $k=1$ 时， $x=\frac{\pi }{2}-\pi =-\frac{\pi }{2}$，对应选项 A。

解法二（诱导公式法）： 由于 $\sin \left(2x+\frac{5\pi }{2}\right)=\sin \left(2x+2\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$。 余弦函数 $y=\cos 2x$ 的对称轴处需满足函数值取得最大或最小值，即： $2x=k\pi ⟹x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

当 $k=-1$ 时， $x=-\frac{\pi }{2}$，对应选项 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数与余弦型函数的对称轴方程特性。
2. 核心方法：整体代换法。熟记 $y=\sin x$ 的对称轴为 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ；$y=\cos x$ 的对称轴为 $x=k\pi$。
3. 避坑指南：容易将正弦函数的对称轴条件 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ 混淆为对称中心条件 $k\pi$。另外，在利用诱导公式化简时需注意符号的正确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的经典基础题，直接取材于教材中“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象”一节的课后练习。
2. 结论推广：对于任意函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$，其对称轴方程的求解公式可归纳为 $x=\frac{k\pi +\frac{\pi }{2}-\phi }{\omega }$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-11 单-函数图象的识别
• 1992-上海-14 单-周期与奇偶性
• 1994-上海-11 单-对数函数与一次函数的图象