1991-上海-19 单-参数方程与普通方程的等价

本题导读

本题考查参数方程与普通方程表示同一曲线的判定，需注意参数取值范围。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 下列参数方程（$t$ 为参数）与普通方程 $x^2-y=0$ 表示同一曲线的方程是()

A. $\{\begin{array}{l}x=|t|,\\ y=t^2\end{array}$　　　　　　B. $\{\begin{array}{l}x=\cos t,\\ y={\cos }^{2}t\end{array}$ C. $\{\begin{array}{l}x=\tan t,\\ y=\frac{1+\cos 2t}{1-\cos 2t}\end{array}$　　D. $\{\begin{array}{l}x=\tan t,\\ y=\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

消参后与 $y=x^2$ 比较，注意 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

D 中 $y=\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}={\tan }^{2}t=x^2$，且 $x=\tan t$ 可取全体实数，与 $y=x^2$ 完全一致。A 中 $x=|t|⩾0$ 只取右半支；B 中 $x=\cos t\in [-1,1]$；C 中 $y=\frac{1+\cos 2t}{1-\cos 2t}={\cot }^{2}t=\frac{1}{x^2}\ne x^2$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程的等价

核心方法：消参后与普通方程比较，注意参数取值范围对曲线的影响。

避坑指南：参数方程等价性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与普通方程等价需验证范围。

结论推广：消参后需检验 x、y 的取值范围。

方法推广：注意参数限制

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1991-三南-04 单-参数方程化普通方程
• 1992-上海-15 单-参数方程与曲线
• 1995-上海理-15 填-参数方程化普通方程