1991-三南-18 单-两曲线公共点个数

本题导读

本题考查两曲线公共点个数的判定，以及联立方程组求解并检验约束条件。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 曲线 $2y^2+3x+3=0$ 与曲线 $x^2+y^2-4x-5=0$ 的公共点的个数是()

A. $4$　　　　　　　　　B. $3$　　　　　　　　　C. $2$　　　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

由第一式解出 $y^2$ 并注意 $x$ 的范围，代入第二式求交点。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $2y^2+3x+3=0$ 得 $y^2=\frac{-3x-3}{2}$，须 $x⩽-1$。代入第二式得 $x^2+\frac{-3x-3}{2}-4x-5=0$，即 $2x^2-11x-13=0$，解得 $x=\frac{13}{2}$ 或 $x=-1$。由 $x⩽-1$ 只能取 $x=-1$，代回得 $y=0$，仅一个公共点。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两曲线公共点个数

核心方法：由 2y²+3x+3=0 得 x≤−1，代入圆得 2x²−11x−13=0，解 x=13/2(舍)或 x=−1，仅一个公共点。

避坑指南：联立消元

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两曲线交点个数通过联立方程组解的个数判定。

结论推广：注意定义域限制（如 y²≥0 隐含 x 范围）。

方法推广：联立消元后解方程并检验约束条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-22 解-椭圆旋转与公共点
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系